1樓：[已重置]
關於選擇公理、良序原理、佐恩引理三者等價的證明，我也看了很多教科書上的版本了。個人感覺就選擇公理推佐恩引理這一步而言，講得最接地氣的還是陶哲軒《分析》一書的8.4和8.
5節——真正把這個證明的難度降低到了大一新生也能接受的水平（前提是能理解選擇公理的涵義，而這或許與大一新生能接受的條件矛盾？contradiction[笑cry]？）。
不過有鑑於陶神書中的很多步驟都「留作習題答案略，讀者自證不難」了，這一證明的很多細節仍需讀者自行補充。。。sigh～
本答案補充全部細節，並稍作敘述上的調整。
【以下凡引用之序號皆出自陶哲軒《分析》一書，可直接檢視，故不一一贅述】
證明主體基於以下引理——
引理 8.5.14：設 是具有序關係 的偏序集， ，則存在良序子集 滿足 且 沒有嚴格上界。
【注：此引理背後的直觀是盡力實施以下步驟：從 開始，若 沒有嚴格上界，則結束；否則，選取 的乙個嚴格上界新增於 ……「無休止地」實施此步驟，直至用盡一切可新增的嚴格上界。
為此，必須用到選擇公理，因為這裡牽涉到了「無限多次」的選擇。然而，這絕非嚴格證明，因為很難準確地論證何謂「無休止地」實施某乙個步驟；取而代之的嚴密論證是——從 中分出一族「部分完全的」集合 （稱之為「佳集」），然後取一切佳集之並[1]而得到乙個「完全的」物件 ，它將確實沒有嚴格上界。】
然後，佐恩引理將作為此引理之推論得出。
鑑於證明中需要很多預備結論，故事先陳列於此，先行證明如下。
命題 1：設 分別為兩個非空集合，那麼 。
證明：給定任意的 ，定義 ，則有 （見習題3.1.7），且 【倒數第二個等號是分配性（命題3.1.28(f)），最後乙個等號見習題3.1.5】。
命題2：良序集的子集也是良序集。
證明：顯然，因為子集的子集仍是原集的子集（集合的包含關係滿足傳遞性）。
命題3：良序集必定是全序集。
證明：反證法。若不然，則良序集中至少存在一對不可比較的元素，由它們所組成的集合是良序集的乙個子集，但此集無最小元可言；從而直接與良序性矛盾。
命題4：設 是偏序集， 和 皆為其中之良序子集，則 是良序集 是全序集。
證明：充分性依命題3，是顯然的。至於必要性，依命題1， ；由於 和 皆為良序集，故 ；又由於 是全序集，故 ，故 之較小者為 ，從而推出 是良序集。
命題8.5.10（強歸納原理）：
設 是帶有序關係 的良序集，並設 是關聯於每個元素 的性質（即 ）。假設對於每個 都有下述蘊含關係： 「如果對於一切 且 ， 為真，那麼 為真」成立，那麼，對於一切 ，為真。
證明：定義命題 ； ，則強歸納原理的前提即是 ；依邏輯謂詞「蘊含」的真值定義 ，這一前提等價於 ；另一方面，強歸納原理的結論是 ，那麼只需證 恆不成立即可。為此，定義集合 為 ，只需證 。
用反證法，設 ，由於 是良序集，依命題2知 也是良序集，那麼 。假設 ，則以下兩種情況必居其一：i） 存在。
此時則有—— （與作為推理前提的 相矛盾）。ii） 不存在。此時則 。
同時，給定 ，則 （與 相矛盾）。因此， 。現考慮 的情形，必有 ；同時， 對於 不成立（因為以上兩種情況剛好證明了 ）；那麼，這就意味著對於 ， （與 這一設定矛盾）。
故這樣的 不存在 。因此，對於一切 ，為真。
用反證法，假定 的每個滿足 的良序子集 皆至少有乙個嚴格上界（反證法前提）。利用選擇公理（以命題8.4.7的形式）為 指定乙個嚴格上界 ，定義 的一族特殊子集——
定義（佳集
[2]）：設 為偏序集， ，若 中的某些良序子集 滿足如下兩條性質——
;，其中 是依命題8.4.7（選擇公理的乙個等價形式）給出的選擇函式，它為每個佳集指定唯一的嚴格上界 。
則稱 為佳集
。
注意，若 ，則集合 ，它是良序的（命題2），並且 。設 是一切佳集的類，則 ，因為 明顯是佳集（空真蘊含）。
斷言以下命題成立
——
命題：若 是 的兩個佳集，則 的任意元素皆為 的嚴格上界，而 的任意元素亦為 的嚴格上界。
這是由於 ，同樣地， ；由於 ，而 皆為良序集（佳集的定義），故依命題2，知 也是良序集。設性質 ，利用強歸納原理（命題8.5.
10）證明之。首先，假定 ，性質 均成立，則有 ，（強歸納假設）。其次，定義集合 ，顯然 是良序集 的子集，依命題2，知 是良序集，故有最小元 ，對此即有 ，同時又有 （集合 的定義使然），因此 ；然後，完全類似地定義 以及 ，對此也同樣有 ；綜上即有 。
再次，由於 和 皆是佳集，故有 ，然而 ，這就立刻導致矛盾——乙個確定的函式不能對同一輸入給出兩個不同的輸出，函式定義使然。故而 ，即得 ，依強歸納假設，知 ，進而 ，從而完成（強）歸納，性質 成立。進而可以驗證 是佳集：
顯然依命題2它是良序的；並且 ，但 ，綜合 得到 ；最後，
，綜上知 是佳集。依反證法前提，對於 ，至少存在乙個嚴格上界可以被指定為 ；斷言若 ，則 ，這是因為 是良序集 的非空子集，依命題2， ，而由於 ，故 。一方面，考慮 ，必然有 （否則與 的最小性矛盾），故 ；另一方面， ，若 ，則由 知 ，與矛盾，因此， a \Rightarrow Y\cap Y^\prime \subseteq \left\" eeimg="1"/>。
綜上 ，由於 是佳集，依定義有 。由於 和 的地位是對稱的，故交換二者的位置，有完全類似的結論。由於 ，斷言 和 中必有一者為空，否則，由以上論證有 ，而與此同時又有 將導致矛盾；故這兩個最小元不能共存，這意味著 和 中必有一者為空。
不失一般性地，假設 ，則 （其中 ），因此 的每個元素都是 的嚴格上界；而與此同時「 的每個元素都是 的嚴格上界」將作為空真蘊含的推論得出。至此命題得證。
然而，和
中又必有一者非空
，這是因為它們彼此互為嚴格上界，若兩者皆空則 與 都將不具有嚴格上界，而這又與（最初為使用反證法而設定的）前提矛盾。換言之， 是乙個全序集——給定兩個佳集 （依定義，它們是 的元素）， 成立。
令 ，即 是 的一切至少屬於 的乙個佳集 之元素所組成的集合。顯然， 。同時，由於 的每個佳集皆以 為最小元，集合 亦然（否則 ，與 矛盾）。
接下來，斷言
是全序集
。設 ，依 的定義，知 。由於 是全序的，故 ，於是 將屬於同乙個佳集之中（或為 ，或為 ），而由於佳集是良序的，依命題3，它也是全序的，故 ，即所欲證。
進一步，斷言
是良序集
。設 ，取任意 ，則有 。那麼 。
由於 是良序集，故 。回顧之前的結論，對於任意其他的佳集 ， 的每個元素均為 的嚴格上界，故 。由於 ，故 ，這是因為，若不然則 ，這意味著 （否則 ，與 矛盾）；然而， ，又與前提矛盾。
由於 ，故 （否則， ，但此時有 是良序集，適所欲證。
由於 是良序集且 ，故它有嚴格上界 ，那麼，並集 是全序集，依命題4知並集 必為良序集，且以 為最小元。那麼，並集 是佳集。從而 ，但由於 是 的嚴格上界，故 ，從而產生了矛盾。
於是，我們即構造了乙個無嚴格上界的集合，滿足了引理的要求。
上述引理8.5.14的作用是為了得出以下著名的結論——佐恩引理（Zorn's lemma）。
引理8.5.15（佐恩 (Zorn)）：設 為非空的偏序集，若 的任意全序子集 均有上界，則 至少有乙個最大元。
證明：反證法。若 無最大元，則 的任意有上界子集 均有嚴格上界。
這是因為，設 是 的上界，則 ；而 無最大元意味著 ，故 ，則 即是 的嚴格上界。另一方面，依引理8.5.
14，在 中可以構造出無嚴格上界的良序子集 。然而，由於良序集 依命題3又是全序的，依前提 有上界，進而又有嚴格上界。就此矛盾，故 必有最大元。
如何形象地理解選擇公理
陳斌 任何非空集存在真子集。簡單的說，如果乙個裝水果的袋子裡不是空的，總能從袋子裡扔掉乙個水果。我感覺在是說集合裡的元素都是乙個個的，斷不會有0.5個，或者根號2個。 李澤龍 假設你面前有兩堆蘋果每堆九個，要求你每一堆選乙個放到乙個地方形成第三堆，那麼你可以把每堆每個蘋果標號從一到九，選其中標號三的...
選擇公理到底是什麼
清雅白鹿記 如果需要從無窮多個集合的每個集合中各取出乙個元素，用他們組成乙個新的集合，如果採用逐個挑選的辦法，那就要到無窮多步之後才能斷言這個集合的存在，顯然是不行的。如果能找到乙個性質P，並且上述無窮多個集合的每個集合中有乙個元素具有性質P，那就可以斷言元素集的存在，這樣就避開了無窮多次的具體選擇...
是否有 類 上的選擇公理？
超濾空間 有，這就是所謂的 the axiom of global choice.要想在ZF中陳述這條公理，需要在語言中加入乙個一元函式符號 C。此時，該公理陳述如下 x x C x x 1，需要注意的是，如果只在ZF中加入公理AGC，那麼相當於僅僅加入了乙個司寇倫函式，因此得到的新系統是ZF的保守...