是否有類上的選擇公理？

1樓：超濾空間

有，這就是所謂的 the axiom of global choice.

要想在ZF中陳述這條公理，需要在語言中加入乙個一元函式符號 C。此時，該公理陳述如下：

x(x≠ → C(x)∈x).

1，需要注意的是，如果只在ZF中加入公理AGC，那麼相當於僅僅加入了乙個司寇倫函式，因此得到的新系統是ZF的保守擴張（即任何不含C的語句在新系統中可證當且僅當它在ZF中可證）。此時，這個新系統連AC都證不出來，因此沒有達到我們想要的目的。

3，Felgner在2023年證明了ZFGC是ZFC的保守擴張（即任何不含C的語句在ZFGC中可證當且僅當它在ZFC中可證）。

4，布林巴基的 Theory of Sets 中的系統自帶乙個運算元τ，起到了全域性選擇的作用：有一條關於τ的公理保證了τxR 是乙個滿足R的x（如果這樣的x存在）。注意到該系統中的存在量詞和全稱量詞都是使用τ定義的。

同時注意到，布林巴基的系統中不含正則公理（也叫基礎公理），在其中加入正則公理得到的系統剛好和ZFGC等同（互相可解釋）。

2樓：Ember Edison

ZFC之內無法得到關於類的結論，請使用NBG/NFU/MK/TG

NBG/MK/TG預設自帶全域性選擇公理GC, Axiom of global choice, 可以欽定類的選擇函式

GC只是AC的保守擴張，NBG只是ZFC的保守擴張

3樓：蘿蔔列夫耶維奇

如果是型別論數學也許可以有，不過ZF（C）的語言中只有一種物件「集合」。

x，彐x，的x都是集合，所謂類，不是一種物件，而是乙個謂詞的寫法。

例如a∈ON，是代表「a是序數」這句話，我們不能以此得到彐x. a∈x，因為ON不是物件，它是乙個性質。

而類函式，當然也不是物件，而是乙個關係的簡寫：

P是個性質，F是個關係，

若 x（Px→ 彐唯一y. Fxy ）成立

想象一下類的選擇公理：

任意性質P，

（彐x. Px ∧x（Px→ x不空））→ 彐類函式f：P→ V.x（Px→ fx∈x）

這是不符合邏輯語法的一句話，因為，類函式f是個關係而非物件，屬於「高階語言」。

是否有 類 上的選擇公理？