選擇公理在什麼情況下使用？

1樓：明心靈竹

突然感覺選擇函式有點類似於集諦。 @司馬義大佬曾經講過有分的本質是什麼？

只有證四聖諦者才能有機會見證到緣起法。剛證四聖諦時，初證初果者，因為如實正知苦／苦諦，不曾被察覺的無明愚痴剎那被察覺到，對整個緣起造成了變異。也因為認識到真正的苦，也發現苦一直被不如理地聚集，這就是苦集諦。

覺知到苦的聚集過程中是經過層層的節點，而每個節點都有其個別功能。初證時，覺知到這些節點可能不是很清晰，在閱讀相應部的因緣相應就有了共鳴，就會變得非常明顯。即使沒有閱讀到因緣相應也會隨著不停地觀四念處下發現每個節點的作用。

每一次呼叫選擇函式，就相當於執行了一下集諦

2樓：Yuhang Liu

選擇公理本身也是要選擇的。

有個東西叫決定性公理，和選擇公理互為對立面。

如果你承認選擇公理，那麼任意線性空間都有基，任意環都有極大理想，但同時也會出現Tarski分球「悖論」等問題（並非邏輯悖論，而是直觀上難以接受）。

如果你承認決定性公理，那麼實數的所有子集都可測，不需要考慮不可測集；以及某個跟實數子集有關的博弈存在必勝策略——詳情請搜尋「決定性公理」的名稱由來即可。但同時選擇公理能推出的一些好的命題也就不存在了。

其實在數理邏輯和集合論以外的地方，在一些形式化論據裡面用到選擇公理的場合並不少，主要是以Zorn引理的形式被用到。

3樓：山高

選擇公理可以說是現代數學基礎中的基礎。很多基本而淺顯的定理中都不知不覺的在應用選擇公理，尤其是分析學中。

應用選擇公理的形式，自然而然的，最主要的形式就是選擇函式的存在。

比如「A到B存在乙個單射，等價於B到A存在乙個滿射」，夠基礎了吧，當你用後者推前者的時候必須用到選擇函式。

比如在現代數學語言--拓撲學中，再基礎不過的「U是X中的乙個開集，等價於對於U中任意一點x，存在乙個x的開領域（通常選為包含x的基元素），完全包含於U」，而對於「包含x的基元素」，這裡多半存在無窮多個選擇的可能，所以又要用到選擇函式。

比如我們在學習各種分析中，不管是數學分析、實分析、復分析、泛函分析等，經常會遇到說「a為集合A的極限點，讓你在A中找乙個點列趨於a來驗證它」，而你找這個點列的方法是在a的各個半徑不同的領域中各找乙個點，而這本身就涉及到了無窮多次選擇，深究起來就又要用到選擇公理，或者選擇函式。

還比如數學分析中第乙個重要定理「無窮集必包含一可數子集」，不用選擇函式是根本無從下手的。

相信題主已經了解了選擇公理在現代數學中的地位。為什麼書中用到選擇函式的時候都不會告訴你要用，而是直接就運用了其結果，造成了某些困擾呢？一可能是為了省事，畢竟還要介紹選擇公理和選擇函式，稍費篇幅。

二是畢竟選擇公理過於明顯，現代數學家們為了避免過於「迂腐」，將其視為明顯的邏輯工具而直接使用，不過大家都心知肚明罷了。