1樓：冬季銀河
更新: 根據更改的問題補充了部分描述, 並用 markdown 重新編輯了一下回覆. (用的是 VSCode 的 Zhihu On VSCode 外掛程式, 公式可能不居中, 將就一下就好)
我大概明白你的意思了. 先說一下, 你給的講義上用的不是狄拉克符號, 因此在一些概念的定義上會與我用狄拉克符號來描述的方式存在差異.
我猜測前面講的應該是離散基底的變換, 亦即將原本的離散基底進行線性組合獲得新的基底. 這裡是在講連續基底的變換.
講義中應該用的是波函式的語言, 在這種描述語言中, 及 都是函式, 用括號表示函式的內積:
而在我的原回答中, 我是使用的狄拉克符號, 波函式對應於態矢在乙個連續的正交基底下的展開係數:
這裡 是乙個連續的正交基底, 是連續引數, 其滿足:
其中 為單位算符. 從這種觀點來說, 選擇不同的連續正交歸一基底, 就會得到不同的展開係數, 也就是說波函式會發生變化. 若從座標基底變換到動量基底, 則這個展開係數, 亦即波函式, 會經歷一次傅利葉變換.
因此, 如果從態矢的觀點來考察, 這裡的變換和講義前面可能提到的離散基底的變換其實沒有本質差異.
最後再顯式地將兩種描述方法進行對比.
設初始基矢為 (座標算符的本徵函式), 其經歷了乙個變換 , 於是新的座標基矢為 (這裡是對座標的變換, 因此算符上加了 , 以與講義中的符號一致):
其對偶基矢為:
從而態 在新基矢下的展開係數為:
這也可以看作是座標不變, 而將算符 作用於態矢 得到乙個新的態矢 . 為了維持內積不變, 即要求:
於是有:
亦即該變換應是么正的
以下是原回答.
量子力學中乙個態是希爾伯特空間的乙個向量，這個向量是抽象意義上的，一般用狄拉克符號中的右矢萊表示。
既然有了向量，就可以談其對偶向量。乙個向量的對偶向量是向量到數的對映，我們用左矢來表示對偶向量。換句話說，給定乙個右矢，其對偶向量是相應的左矢，其與任意乙個右矢的作用相當於求該右矢與後乙個右矢的內積。
有了對偶向量，可以談論算符的伴隨算符。線性算符是希爾伯特空間到自身的乙個對映。之前提到過，希爾伯特空間和其對偶空間存在一一對應關係 (數學上來說好像這種對應關係不是普遍的，但嚴格的數學細節記不太清楚了)，因此伴隨算符對對偶向量的作用，等效於算符對相應向量的作用 (這裡有些抽象，稍後再加上公式)。
座標表象的基矢，是座標算符的本徵態；動量表象的基矢，是動量算符的本徵態。我們在某個表象下對某個向量進行表示，其實就是在求給定向量在該座標系中的各個分量。所謂的表象變換，是對右矢的乙個變換，對應與乙個算符；但表象改變後，相當於基底發生了改變，所以原本的分量亦要變化。
如果將座標基底變換為動量基底，相應的分量要進行傅利葉變換。由於給定向量在某個右矢基底下展開的分量，等於基底的各個右矢對應的左矢乘上該向量，於是對於基底右矢的變換，體現到向量分量上，相當於在原本基地與該向量的內積中，插上乙個基底變換算符的伴隨算符。一般來說，伴隨算符和算符是不相等的，相等的話其為厄公尺算符。
不知道你疑惑的是否就是最後一段中的內容？
最後再補充一下，么正性對於乙個變換不是必要的，之所以變換要有么正性，是加上了向量模不變的限制。換句話說，乙個么正變換作用在右矢上得到乙個新的右矢，這個新右矢與對應左矢相乘時，相當於將舊右矢與對應左矢相乘的表示式中插入了變換算符的伴隨算符與變換算符的乘積。為了讓內積不變，這個乘積應為單位算符，而這正滿足么正算符的定義。
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