弦論中如何描述粒子的角動量?

時間 2021-06-03 09:54:44

1樓:

@Frankie Ling 既然看起來您是在認真地質疑我,那我就認真地寫個回答好了。

首先回答題主的問題。(本回答均採用自然單位制)

Viewpoint 1: 從量子力學的角度來說,粒子的總的角動量 包含兩部分,一部分是服從 變換的軌道角動量 (orbital angular momentum) ,另一部分是迷向子群 (little group) 決定的內稟角動量 (intrinsic angular momentum),也稱為自旋(spin)。

先說軌道角動量, 因為服從空間旋轉變換,自動滿足 Lie 代數 結構

,這是決定系統是否具有軌道角動量的關鍵條件,總角動量本質就是 Lorentz 對稱對應的守恆荷,而軌道角動量則為其中空間旋轉變換部分的守恆荷(這是由 Noether 定理保證的,要是不熟悉請參考想知道像諾特定理這樣抽象的定理是如何證明的?)。

Viewpoint 2: 這裡可以跳過場論的觀點,我們直接來看弦論中有沒有滿足 Lie 代數結構的角動量算符(想直接看結論請跳到 conclusion 1)。以經典開弦為例,Polyakov 作用量為

,由 Lagrange-Euler 方程求解得到其運動方程

,考慮 Neumann 邊界條件 可以對其做 Fourier 展開(即模式展開)得到

。Minkowski 空間中的旋轉變換有 6 個生成元,可以完全由 Lorentz 對稱性表示,即變換 在 Minkowski 空間中是不變的,6 個生成元中的 3 個就是我們之前所說的空間旋轉 (rotation) 變換,另外 3 個則為偽轉動 (boost)。

由 Noether 定理不難得到其相應的守恆流與守恆荷

.代入模式展開的結果為

。其中 , 。 的空間部分即軌道角動量(即 的分量)。不難證明

下標 表示它們的 Lie 括號作用,這裡對於經典情形就是 Poisson 括號。

Conclusion 1:所以,軌道角動量是存在的,和量子力學或是場論中的表現形式並沒有太大的差別,因為它們都是空間旋轉對稱性的必然結果。

Comment: 如果對弦進行量子化,主要改變的是模式展開的指數項即激發態項,所以軌道角動量的結論仍然不改變,至於激發態的變化引起的問題我們在之後詳談。但考慮量子化後會出現乙個問題:

軌道角動量算符 可能會為無窮大。從這點來說,弦論中的軌道角動量是有一點 ill-defined 的,但這個問題仍然是可修正的,你可以說軌道角動量定義不太完善,但絕不是沒有。

嚴格一點說,Wigner 分類告訴我們,Poincare 群的表示可以完全由其迷向子群及誘導表示決定,借助 Poincare 群萬有覆蓋的小群在自旋空間上的表示即可得到該萬有覆蓋在 Hilbert 空間上的不可約么正表示(即誘導表示). 不同的迷向子群給出不同的誘導表示, 對應不同的單粒子態。即粒子的不可約么正表示是完全由時空的基本對稱性決定了的。

所以自旋與質量一樣,都是粒子(場的激發態)的基本屬性。所以既然弦論可以描述基本粒子,Poincare 對稱性就已經保證了粒子一定是具有自旋的。關鍵的問題在於弦論是如何描述基本粒子的。

Viewpoint 4: 弦論與場論最大的區別在於場論將粒子看做沒有實體的 0 維的點,而弦論認為基本的物質組分是 1 維的弦,基本粒子的外部可觀測量在弦論看來都屬於弦自身的運動特徵。回到 viewpoint 2 的模式展開,之前說到 就是弦論中的產生算符,玻色弦的所有內部振動都可以由 產生,但這裡的 是有可能存在負質量快子態的真空態,為了消除這些非物理的態弦論的自洽條件就顯得有些遙不可及。

而當我們說弦具有某個方向的自旋的時候其實是在說弦在繞著某個方向旋轉。量子力學中角動量是由自旋角動量與軌道角動量共同產生的,但(玻色)弦論中的角動量則完全由軌道角動量產生,這時自旋的定義和場論中的自旋定義是有很大不同的,由此我們發展出能描述弦自旋性質的 spinning string(不知道該怎麼用中文說,自旋弦聽起來太彆扭了)。這部分再展開就太長了,可以參見spinning string in nLab。

而在玻色弦理論中能給出的自旋狀態都是整數 (舉個例子,具有自旋分量的光子(或者說圓偏振)在弦論看來就是一條細長直線),為了描述費公尺子的半整數自旋,我們引入了超對稱,考慮弦在超空間 (superspace) 中運動,超空間中存在一半的費公尺子自由度。同樣的,費公尺子空間中的零模式(即經典意義下的自旋)也是不可觀測的。只有當費公尺子空間的 Grassmann 變數不含時的時候,振動模式才對總角動量有貢獻,從這層角度來說,在引入超對稱後自旋也是存在的,它使得角動量存在乙個類似量子場論中粒子的內稟屬性。

Conclusion 2:考慮超弦理論的話,自旋同樣是允許存在的,但是在玻色弦理論中,角動量可以完全由弦的軌道運動表示,粒子的自旋不再是表徵粒子內稟屬性的可觀測量了。

然後是對您答案的反駁,您犯的錯誤如下:

1. 混淆角動量與自旋。粒子自旋只是內稟屬性,不是真實的運動,即使是量子力學自旋也不能與角動量劃等號

2. 一定程度上是可以說(玻色)弦可以沒有自旋,但角動量一定是會存在的,這是由空間旋轉對稱性保證的,儘管可能發散,但絕不代表沒有。

3. 振動一樣可以激發自旋。我感覺您對物理的理解幾乎完全停留在經典層面,至少對於場論您是沒什麼了解,不然也不會說出亞原子粒子才有自旋這種話來。

4. 黑洞當然可以有溫度。不過這也要求定義的修正,按巨集觀經典的溫度定義當然是不存在了。

按您這定義連負溫度系統都是定義不了的,當然黑洞輻射以及黑洞熱力學也是今天還在研究的熱點問題,但絕不能簡單地說沒有溫度。您可以參考安宇森前輩的

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