1樓：「已登出」
1，疊加原理：
公理：體系的純態由復可分Hilbert空間中的歸一化向量表示。
疊加原理： ， 。這是公理的推論，線性空間上自然可以做加法，這和運算元的譜，譜定理，都沒有關係。
2，譜：
對於運算元 ，我們考慮方程 。
（1）有限維：選定 中基底，運算元 可以用矩陣描述。此時， 只有兩種可能：
a，是運算元 的點譜（本徵值）；
b，矩陣 存在， 稱為正則值。
（2）無窮維：此時邏輯上可以分為下面幾種情況。
a， 不存在， 為點譜（本徵值）；
b， 存在， ， 是正則值；
c， 存在， ， ， 稱為剩餘譜；
d， 存在， ， 稱為連續譜。
當 為無窮維Hilbert空間時， 的譜集。
舉幾個簡單的例子：
對於，運算元 ， 其定義域為：
。此時 ， 只有點譜。
對於，運算元 ， 只有剩餘譜。
對於 ，運算元 ， 只有連續譜。
3，譜定理：
（1）有限維：
有限維的情況是非常簡單的， ，運算元只有點譜（本徵值）。此時我們對待方程： ，我們無非失去求解乙個矩陣的本徵值問題，對於自伴運算元，我們可以將 （在其本徵矢下）寫成乙個新的對角矩陣：
， 就是相應的本徵值的投影運算元，滿足： 。也就是說有限維情況下，運算元的譜定理就是要把運算元（其本徵矢作為基底）寫成對角矩陣，即把運算元分解成一些投影運算元的倍數之和的形式。
（2）無窮維：
可以看出，在量子力學中譜定理對應的就是完備性條件。無窮維的情況無非是要將矩陣的對角化推廣而已（只不過研究的基本方法完全不同，而且要複雜很多），下面沒有時間做到嚴格證明，這能簡單的提一下projection-valued measure和譜定理在量子力學中是怎麼應用的。
記中的Borel子集組成的集類為 ， 上投影運算元的集合為 。在量子力學中，當我們觀測到某個力學量的值時，相應的量子態就會坍縮（投影）到觀測值所對應的態上。由此我們可以定義對映 ，如果力學量的觀測值在 中，相應的作用在態上的投影算符就是 。
如果我們確定力學量的觀測值在 中（也就是說我們根本沒有觀測），則相應的投影算符為 （沒有觀測，也就不會坍縮）。
由此，滿足一下條件的對映 稱為乙個projection-valued measure：
a， ；
b， （運算元強極限下收斂）。
三元組 稱為乙個譜族。
自伴運算元的譜定理：對於Hilbert空間上的自伴運算元 ，存在唯一的譜族 ，使得： ，簡記為： 。
舉個簡單的例子， 中的位置算符 ： ； ，相應的物理記法為： ； 。
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