1樓：
首先，克萊因瓶是乙個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面，在三維空間中是無法存在的。
題主看到的示意圖是人們把克萊因瓶放到三維空間中所顯示的樣子，於是只好把它表現得似乎是自己和自己相交一樣，讓瓶頸穿過了瓶身連線到底部。就像把乙個存在於三維空間的籃球畫到二維的紙上時，球的一些線與面在紙上不得不相交一樣，但在三維中是不相交的。
在四維空間中，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。如果從瓶子外面往瓶底的洞口倒水，水會從裡面流出來（裡面其實也就是外面...），題主腦補下。
2樓：馮白羽
克萊因瓶可以浸入三維歐氏空間但是不能嵌入三維空間 。
也就是說想象你拿細繩打了個結，你想要在紙上畫出這個結的示意圖當然是可行的，但是在示意圖上的線條就不得不與自身相交，而你心裡清楚繩子其實是沒有交點的。
那麼你覺得紙上的示意圖和繩結是一回事嗎？
3樓：
名可名，非常名。此馬非彼馬。
你看到的Klein bottle和數學家說的Klein bottle不是乙個概念。就像，兩條垂直的直線在平面內必然相交，在三維空間可以不相交。但是，以上兩種情況都可以在紙上畫出來。
Klein Bottle不可以在三維空間中可以表示出，但可以在四維空間中表示出來：嚴格地說，不存在乙個從Klein Bottle到三維歐氏空間的embedding，但是存在到四維或者更高維的embedding。
參考：《一般拓撲學》（阿木斯特朗）
以及Whitney embedding theorem
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