無限是否存在大小？可以相互比較？

1樓：

您可以隨便找一本數學分析的書應該都有詳細的介紹另外值得注意的是目前我的知識體系裡面，無窮可以比多少，不可以比大小，廣意實數系沒有比∞更大的數啦。這個應該要注意一下emm

2樓：醉墨書生

樓主是高中的話，暫時可能很難理解無窮大的比較。（作為初學者，我覺得其他幾個回答這方面已經說得很好了）無窮大的比較根本上要建立雙射（就是說乙個對應乙個，兩個集合，如果它們的元素是乙個對應乙個的話，那麼元素數量當然一樣多）

乙個和樓主這個問題很像的例子

三角形ABC，DEMN是乙個內接的矩形，DE上任一點G作垂線GH。通過這種方法，我們就建立了乙個一一對應，DE上的每乙個點G，都在MN上有乙個H與之對應，並且H點也是可以取遍整個線段MN的。把線段看作點的集合，這就意味著DE上的點的數量，和MN是一樣多的。

（即DE，MN兩個集合中元素數量一樣，稱為等勢）這符合我們的幾何直觀。

另一方面作直線AH'，交DE於G'，交BC於H'，這樣我們又建立了乙個DE於BC之間的一一對映。對於DE上的每乙個G'點，BC上都有乙個H'點與之對應。並且H'點是取遍BC的。

也就是說DE上點的數量和BC是一樣多的。

那麼兩個結論放在一起，就是說MN和BC上點的數量是一樣多的。

你可能會問BM和CN去哪兒了，這就是無窮大比較大小的時候和有限範圍內最大的不同：乙個集合，可以和它的真子集等勢（即圖中BC與MN）

在下圖中，同理，我們可以證明，一條有限長度的曲線（πr），可以和一條無限長的直線構建一一對映，則二者點的數量相同

樓主的問題和這幾個非常像，自己來試試吧

3樓：高YZ

無限集的乙個定義是，它和它的乙個真子集可以一一對應。

無限集可以有很多種定義「大小」的方式。有的定義結果是無聊的，有的結果是有意義的（因而成為了大家普遍認同的標準的內容）。

我的觀點是，如果要定義合理的「大小」，至少要滿足「全序關係」Total order：

If a>=b and b>=a, then a=b;

If a>=b and b>=c, then a>=c;

For any a, b, either a>=b or b>=a.

有意義的「大小」的例子

1. 勢 cardinality

簡單說來，若存在單射 ,則稱X<=Y.

2. 測度 measure

你可以理解成「面積」。

3. 對於同乙個域上的有限維線性空間，你可以定義維數，你可以定義「維數高的比維數低的大」。

4. 對於乙個數列，在趨向無窮大的過程中由不同「速度」產生的所謂「高階無窮大」

似乎非標準分析中有更多奇怪而有趣的例子。我不懂，就不扯了。

1. 維基 https://

en.wikipedia.org/wiki/I

nfinity#Mathematics

4樓：草木芳菲

總體大於部分這個觀點比較初等的，實際上大圓和小圓裡的點可以一一對應，關於階其他較為高等的解釋，請題主將來自行理解，這裡多說無益