1樓：反射序數
設這個圖的頂點集是自然數集。設U是自然數集上的乙個nonprincipal ultrafilter。
對每個自然數n，若與n有紅邊相連的數構成的集合S_n在U裡，就給u染上紅色，反之就染上藍色。
每個自然數都被染上紅藍兩色之一，不妨設紅數構成的集合S在U裡。
對任意S裡的一組數a1,a2,...,an，S與全體S_ai的交集在U裡，是無限集，可以從中取出與所有ai都不等的a(n+1)。
從空集開始，這樣無限取下去，就得到了乙個無限集，它裡面的所有邊都為紅色。
這個證明比原版證明短很多。
2樓：LasterCircle
可以直接證明一般超圖的情況。
其他兩位答主一位的思路是簡化為2染色情況，另一位是直接用有限集的Ramsey定理，下面這個證明思路與二位不同。
劉培傑數學工作室，Ramsey定理，哈爾濱工業大學出版社，2018，P179-180
3樓：Speechless
肯定。不妨我們對圖進行染 種顏色，對於任意的 我們希望可以找到單色的Fact:有界。
其中有 個 . 為最小的正整數 , 使得 的任意 邊染色都存在乙個單色的 .
反證：假設無限圖 沒有無限限單色完全圖。
那麼假設 中最大的單色完全子圖的階為 ，令 ，則取 中任意的 個點的誘導子圖 (繼承 的染色)。則我們找到乙個 階的單色完全子圖。與假設矛盾！
4樓：emoji
結論是有.
只需證明顏色有2種的時候成立. 因為k種顏色的情況可以先把其中k-1種顏色看成同一種, 然後用歸納法證明.
假設只有紅藍兩種顏色. 考慮點1, 要麼和1相連的有無窮多條紅色邊, 要麼有無窮多條藍色邊. 我們假設前一種情況.
另外一種情況類似. 我們把和1之間用紅色邊相連的點構成的集合記為V1. 那麼, V1也是個可數無窮集.
對於乙個V1中的點, 如果在V1中, 和這個點用紅色線相連的只有有限條, 那麼, 我們定義這個點是V1-藍色的.
如果V1=B1中的每乙個點都是V1-藍色的, 那麼, 必然能找到藍色的無限完全圖. 下面我們解釋這個原因: 我們先隨便選乙個點x1, 根據藍色點的定義要求的紅色邊的有限性, x1和B1的乙個子集B2中的點的連線都是藍色的, 並且B2是可數無窮集.
接著, 我們在B2中隨便取一點x2. 由於x2只和有限個B1中的點以紅線連線, 而B2是B1的子集, 所以, x2也只能和有限個B2中的點以紅色線相連. 我們把這些點去掉, 得到無限集B3.
則, x1和x2都以藍色線和B3中的每一點連線. 接下來在B3中任取一點x3, 構造B4. 如此反覆, 可得點列, (xn).
那麼, 這個點列中的點彼此不同, 並且彼此之間以藍色線相連線, 構成無限藍色完全圖. 得證.
否則, V1中至少有乙個非藍色點x2, 那麼, 此點一定和無窮多個V1中的點以紅色連線. 記這些點為V2. 那麼, 現在, x1和x2都和V2中的每一點以紅色線連線.
接下來, 我們限制在V2上考慮. 類似定義乙個點是V2-藍色的, 當且僅當這個V2中的點只和有限個V2中的點以紅色線相連. 類似的, 如果V2中的每一點均是V2-藍色的, 那麼, 必有無限藍色完全圖, 得證.
所以, 我們接下來, 只考慮存在V2中的點x3是非藍色的情況. 由於x3非藍色, 那麼, 存在V2的無限子集V3使得, x1, x2和x3均和V3中的每乙個點以紅色線相連線.
如此反覆, 要麼在有限步出現子集Vn使得其中的每個點都是Vn-藍色的, 從而得證. 要麼, 可以找到一列不同的xn和對應的Vn. 這一列無窮多個xn必然滿足每兩點都以紅色相連線.
從而得到無限紅色完全子圖. 於是得證.
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