1樓：半仙
自己想的乙個衡量函式，改簡潔點吧，沒人看。
對於線性定常系統
dx/dt=Ax+Bu
y=Cx+Du
能控性判別矩陣Qc
能觀性判別矩陣Qo
任意xt=[t1 t2 …… tn]x，定義它的能控性和能觀性為：
xt的能控程度為：
[t1 t2 …… tn] Qcxt的能觀程度為：
Qo [t1 t2 …… tn]+(+表示廣義逆)這麼定義有以下兩點理由。
首先，如果做線性變換A'=P^(-1)AP。那麼有xt=[t1 t2 …… tn]x=[t1 t2 …… tn]PP^(-1)x=[t1' t2' …… tn']x'，即[t1' t2' …… tn']=[t1 t2 …… tn]P，同時Qc'=P^(-1)Qc。於是有[t1 t2 …… tn]Qc=[t1 t2 …… tn]PP^(-1)Qc=[t1' t2' …… tn']Qc'，也就是說可逆線性變換不會改變xt的能控程度。
能觀性類似。
第二點好處，將系統做能控分解，會發現不能控部分的能控程度都是0。能觀性類似。
然後，計算也非常簡單。
@無我@煤球廠老闆
2樓：
發現經常上知乎來答題有助於回憶以前課上學過的東西，哈哈
只學過linear system的EE民工前來回答，各位數學系大大請輕拍
如果我理解的沒有錯的話，樓主問的可觀程度就是每個狀態對系統輸出能量貢獻的多少，可控程度就是在單位輸入能量下，系統每個狀態能量的大小。
@Linglai Li說的對，可以對Gramian進行分解。
假設系統穩定，初始狀態為x0，無外部輸入，如果你計算一下系統輸出能量表示式你就可以看出每個狀態對系統輸出能量的貢獻。
當然嚴格來說，此時要對Q進行SVD分解，假設得到Q=USU『，那麼
可以說，在相似變換（similarity transformation）下，S矩陣對角線上的元素即是變換後空間下每個狀態對輸出能量的貢獻，也就是此狀態的可觀程度。
相似的結論對可控性也成立。
樓主問的東西跟模型降階（model order reduction）有關，就是得到乙個更低階數的模型，同時和原模型的差距不大。
此時就要考慮這個「差距」如何量化，以及如何得到量化的狀態對輸出和輸入的能量轉化關係。
如果樓主想在此方向深究下去的話，可以Google一下Hankel Norm和Balanced Realization。
如果樓主想系統地學習相關理論，可以找一本好的線性系統的書來看。
參考文獻
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