1樓：FOREST.Z
不要想通過占有數表象來看這個問題，因為你必然會得到整數，難道你會得到半個粒子？
言歸正傳，你當然可以產生分數，你只要把頻率的一部分放到2\hbar \omega [（n+1/2）\times 0.5]裡面，但是這並沒有什麼意義，因為最後的結果任然是靠近的兩個能級之間的差值是個常數，只是你把單位變換了一下罷了（為了得到你想要的分數）
你難道會把1寫成2\times 0.5嗎？這多麻煩，如果把兩個能級之間的差值作為基準，來給定1,2，3,。。。。。。。
你如果把[0,1]這一格的能量單位取成無窮大，你甚至可以得到一組準連續的值（其實仍然是離散的，只是點與點之間的間隔很小了）。但是這並沒有什麼意思，只是我們想要簡潔。
至於是n=0作為基準還是什麼，就看你怎麼選取勢能的基準。這些不是唯一的，但是大家用了這麼久了，這一套東西比較簡單。
2樓：姚舜輝
我們可以通過乙個因子分解的角度來理解為什麼束縛能級只能為整量子數
我們不妨考慮這樣一族哈密頓運算元
，n=0,1,2,3,4....
它們滿足以下遞推關係
們由對易關係 ，可以輕易的知道
我們只需要證明本徵能量只能落在 {}這個序列中就可以了
我們任取乙個本徵歸一化態 ,
然後我們不斷用降算符作用在 上，到了第k次作用時，求得此時的態的模長
由遞推關係可以知道
這樣的話，上面的不等式可以遞迴的化簡為
也就是說
令k=0,則可知 ，若 \lambda_0" eeimg="1"/>
則令k=1,則又可知 若 \lambda_1" eeimg="1"/>則k可繼續取2
類推下去
但是，E只是乙個固定值，這說明，E只能是中的一員，只有這樣才能保證不等式的恆成立
姚舜輝：從氫原子的階梯算符到Sturm-Liouville型方程的因子分解技術
參考文獻
Konstantin Kazakov --
3樓：
如果有小數，你用a疊到最後會疊出個n<0的負能態的…然後就沒下限了…
真是太可怕了，提出這個想法的人應該斷一周的河豚以示懲罰。
4樓：「已登出」
來晚了呢......我再多囉嗦幾句有的沒的吧。
更廣泛的講，這裡諧振子的代數解法是去定義Ladder operator來解決某個運算元的本徵值問題，不僅限於諧振子問題。具體來說：
對於本徵值問題： ，如果存在運算元 滿足： 。那麼，容易證明：
。即： 。可以發現，運算元 可以將 的本徵值增加 。
對於諧振子，如果我們從小數開始取的話會出現負的 。所以，對於簡諧振子中的Ladder operator，我們還有正定性的要求： ，這一點是必須的。
由此我們可以從 開始得到諧振子的其他能級和本徵矢。
當然，Ladder operator還可以應用在其他問題上。例如，角動量問題中，我們可以定義：
， 。其中 ， 。容易驗證如下對易關係：
， 。可以發現，這裡的 也是Ladder operator。借用他我們可以得到角動量算符的本徵值，以及 的 維不可約表示。
這裡，我們可以通過， 確定最大本徵值 。
同理，對於單粒子Hilbert space 生成的對稱Fock space上的產生和湮滅算符，其構成了CCR algebra在對稱Fock space上的忠實表示，它們也是Ladder operator。對於自由Kelin-Gordon場而言，其正則量子化和諧振子的正則量子化十分相似。只不過這裡的 負責在Fock space上產生乙個動量為 的粒子：
，而諧振子中的Ladder operator 則負責將諧振子能級公升高一級。
5樓：Charles Huang
先搞清乙個概念， " eeimg="1"/>和希爾伯特空間中的零模態向量是不一樣的，前者模為1，後者模為0，任何矩陣作用在零向量上必為0
你想表達的意思應該是 )=0" eeimg="1"/>，第二個括號內剛好是這個齊次線性方程組的零解吧，這樣的話會出問題，因為 )=0\ne0.5|\lambda=0.5>" eeimg="1"/>，只有換成 " eeimg="1"/>才不會有這個矛盾
6樓：usk d
注意區分0態和 態。
前者是希爾伯特空間中的乙個元素，不過不對應物理狀態，後者是真空態，有真實的物理狀態對應。
希爾伯特空間中除了0態的一切態都對應物理狀態，並且可以歸一化。
為了讓一連串遞減的態截止，我們必須得出現0態（而不是 態。）其實邏輯上和本徵值為0都沒什麼關係。
邏輯順序應該是這樣的：
1.如果永遠不出現0態，那麼我們可以用下降算符不斷得到有物理意義的狀態，並且本徵值無限遞減。
2. 1的情況顯然是不行的，所以一定會出現0態。
3.那麼鏈條倒數第二個態，用 來表示，自然滿足4.用直接可推出 是能量本徵態（利用 ），本徵值為
7樓：qfzklm
構造好了階梯算符，那麼能量本徵值就像爬梯子一樣，是等間隔排列的。。所以這個梯子，既可以正向爬向正無窮，也能負向爬到負無窮。。
而能量本徵值有下界，那麼就必須要把這個梯子給截斷掉，而零就是乙個恰當的截斷點，所以最終，這個梯子就變成從零開始了。。
8樓：
因為量子數n如果取小數的話，根據產生和湮滅算符的對易關係，最後你會發現能量可以是負值，甚至還可能是負無窮。
所以n必須取乙個整數，這樣當n=0時就能把遞推關係截斷，避免負無窮能量的出現。
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