1樓：liyouxi
這是典型的物理研究者的思維，其實只找到了幾個特例，並且對應也不都是完美的，缺乏普遍性。然後，總結這句話，讓人誤以為是很普遍的。其實，既然只是特例，那就能看懂幾個特例是幾個特例就行吧。
2樓：風雪凌塵
1.d維時空 的歐幾里得場論等價於d維空間 的經典統計力學
標量場的路徑積分的生成函式，在Minkowski空間中為
,其中進行乙個Wick轉動 得到Euclidean空間的生成函式 (1)
其中 ,
而經典統計力學的系綜的配分函式為
,其中E(p,q,)為系統總能量，比如對於N體有相互作用系統有
，對廣義動量積分之後得到
(2)比較一下（1）和（2）就可以看出如果指標i對應座標x, 廣義座標 對應場函式 ,則（2）式的形式和（1）完全對應，能量為V（因為動能部分積分積掉了）。同時，也可以看出在 下，
因此d維時空 的歐幾里得場論等價於d維空間 的經典統計力學。這裡說明一下，這種等價性，更多地體現在形式的一致性上。
2.D+1維時空歐幾里得場論在週期性邊界條件下等價於D維空間的量子統計力學
對於乙個量子力學系統而言，對相空間(q,p)的積分改為求跡，則對於哈密頓量為H的系統而言，有
" eeimg="1"/>(3)
則根據散射振幅的路徑積分表述 =\int Dq(t)e^^dtL(q,\dot)}" eeimg="1"/>，可以將時間T用 代替，令初態和末態均為 " eeimg="1"/>,對 " eeimg="1"/>求和
=\int Dqe^^(-id\tau)[\frac(\frac)^2-V(q)]}=\int _Dqe^^d\tau L(q)} " eeimg="1"/>,其中拉格朗日量正是用歐幾里得時間表示的哈密頓量。由於配分函式中是求跡，且初末態相同，所以配分泛函應該在週期性邊界條件 下對所有路徑進行積分。PBC是指periodic boundary condition。
那就可以看出。如果H是D維空間（即d=D+1維時空）的哈密頓量，則配分函式Z為
所以D+1維時空且 的歐幾里得場論等效於D維空間 的量子統計力學。
3. D維時空 的歐幾里得場論等價於高溫下D維空間的量子統計力學
這裡就是 @qfzklm 所提到的那種情況。
因為在上文中考慮了場的週期性邊界條件 ，所以進行Fourier變換的話，頻率離散化取分立值 , 。因此動量空間中的費曼積分對頻率 的積分轉變為對求和。當把動量空間中的費曼積分化成 後，這個積分可以被替換為 (4)
可以看到，在 時，由於費曼積分的形式是 , 因此在積分 中， 位於分母上。也就是說在T趨於無窮大時，主導項是n=0那一項。
根據以上分析，由於動量空間中的頻率部分（對應座標空間的時間部分）已經積分（即求和）掉了，因此(4)式表明本來是乙個d維時空的積分，積掉時間一維後，最後變成了乙個在D維空間的積分。
因此，D維時空 的歐幾里得場論等價於高溫下D維空間的量子統計力學。而D維時空的歐幾里得場論本身等價於D維空間的經典統計力學。因此這其實說明量子統計在高溫極限下退化為經典統計力學。
參考文獻：A.Zee 《Quantum theory in a nutshell》(《簡明量子場論》)第一版第五部分第二節,P261--264.
3樓：
題主是想說 AdS/CFT 對偶嗎？如果是的話，那是因為d+1維經典引力理論的邊界，是d維的SYM理論啊。用不太準確的描述來說的話，你可以把額外的那個維度z往邊界走的過程，模擬成，某乙個高維理論通過重整化流，流向fix point的過程。
4樓：qfzklm
簡單來說，你可以寫出乙個配分函式的對應。
將d維的量子系統的配分函式寫出來，這個配分函式在虛時間方向是乙個路徑積分，你可以沿著虛時間方向離散化來計算這個配分函式，而離散化後的配分函式正好就是d+1維的經典系統使用轉移矩陣方法寫出的配分函式，其中在+1維上的格點的數量，正好等於你之前離散化的份數。。
隨手找到乙個資料參考：http://
web.mit.edu/8.334/www/grades/projects/projects12/TimHsieh.pdf
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