1樓：物理學徒妖妖夢
說乙個不那麼物理不過很有趣的意義，經典諧振子中隱藏著Hopf纖維化的例子[1]
[2]。
考慮兩個相同頻率自由諧振子組成的系統：
它的等能面是個四維球面 。解出正則方程：
相曲線是相空間中的一些圓。到這看起來平平無奇，接下來說數學的部分：
考慮復射影直線 ，也就是 商去等價關係 。可以先商去模那部分，限制在四維球面 上，再商去輻角那部分。考慮到 這一熟知的事實，我們有了乙個 到 的對映 ，具體地說就是先做除法 再球極逆投影。
也可以看成全空間是 ，基空間是 的乙個非平凡纖維叢，對一點 ， ，這一對映稱為Hopf纖維化。
在這個例子中，取 ，可以發現相曲線就是這些纖維。
2樓：旋子
水平有限，強答一波，按我的理解最直接相關的領域就是奈米尺度聲子傳輸問題了吧，乙個週期性排布的晶體其勢能函式可以展開為：
其中常數項 可以不管，對晶格振動無影響，因此可以在計算時設定為0；
其次，原子在平衡位置時勢能一階導為0，因此有：
引入簡正座標以及產生湮滅算符，二階導那一項實際就是，這在任何一本量子力學書中都可以找到。其中 是聲子數目，滿足玻色-愛因斯坦分布函式，這就是所謂的簡諧近似了。後面的高階項就表示多聲子相互作用。
為了便於處理問題，經常把高階項忽略，但是現在也不是不可以處理的，比如求解線性玻爾茲曼輸運方程來得到聲子散射機率，這樣能夠直接得到材料熱導率，最新的結果已經能夠做到4階了，基本上與實驗測量值能夠保持一致。
比如：T. Feng et al, Phys. Rev. B., 96, 161201(R), 2017.
另一方面，在奈米尺度下，器件或材料尺寸遠小於聲子平均自由程度，熱傳導問題用簡諧近似就能處理。這個時候用非平衡格林函式解出材料的聲子透射函式，然後通過Landuer-Buttiker公式可以得到熱導：
3樓：觀光鴨
QFT及其衍生品可以說是內容豐富，博大精深了。但其中微擾計算的「出發點」，只是在無窮多無耦合諧振子的基礎上做微擾展開而已。
4樓：「已登出」
線性諧振子作為乙個基本模型，在物理中的應用十分普遍，幾乎在所有分支中都可以見到。我猜大致是以下兩個原因（至於是不是更本質就不清楚了）
在理論力學或量子力學中，我們通常考慮哈密頓量或者拉氏量。現在我們考慮單粒子系統的哈密頓量，如下
其中勢能，其零階項只是平移能量零點所以並不影響動力學行為，同時其一階項可以通過變數的替換消去也不改變動力學行為。最低階的非平凡項就是二階項（也就是質量項）。對於任何乙個系統，我們通常是研究其最簡單的情況之後，再去做更高階的問題。
而這個基本的線性諧振子模型也是固體物理（Phonon, Magnon, etc），高能物理（quantum fields, etc）等分支中的基礎。這個標題中的「最簡單」就是說線性性質，這裡的線性並不是說勢能項是線性的，而是說準粒子之間沒有相互作用。
線性諧振子的第二個特點就是「諧振」，它的運動方程的解是簡諧振動。說到這裡，大家應該比較了解它的重要性了，尤其是對電子資訊科學有過一些了解的人。我們對乙個系統的分析，操作上來看，大多還是在頻域裡面比較好做。
而這個過程就是把訊號按一系列的簡諧振動分解！比如說測準粒子譜等等。而在這基礎上就可以研究非線性過程，如混沌、同步、分形等等。
不知道是不是部分回答了你的問題，以上。
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雖然有壁壘，但是突破點的位置很明顯。突破點就在於 一 波函式坍縮，或者說量子詮釋問題 二 點粒子問題 三 統一理論。這三個都是真正的問題，而非形上學的問題。而且如果解決，必然是一串下來三個全都得到解決。這三個問題堪稱新時代的烏雲，就在咱們頭上懸著。咱們學量子力學的時候，老師可能會說一句話，閉嘴，去算...