Jordan標準形的本質是什麼？

1樓：wudi

不敢談本質，說說個人理解。線性變換可以分解成不變子空間的直和，不變子空間可以看成子空間的「壓縮」或者退化，(這種退化在實線性空間不一定能分辨的出來)把這些「壓縮」退化分類最簡形式就是Jordan標準型

2樓：jeetchu

Jordan標準型就是那些不能化成對角陣的矩陣，通過變換化成的相似矩陣。它是一種準對角陣。

對於某個特徵值λi而言，r(λi I-A)決定了它的不相關的特徵向量的個數，如果有ni個不相關（ni是特徵不等式的代數重數），那麼對應λi的喬丹塊數目就是ni，它本身就是個小對角陣。如果有2個不相關特徵向量，那麼對應於λi就有兩個喬丹塊。各個λ所對應的喬丹塊最後組合在一起，就是喬丹標準型。

化成喬丹標準型的好處是可以進行矩陣的函式計算。矩陣的函式和數值的函式類似，可以通過泰勒展開轉化成矩陣的多項式，而喬丹子塊的多項式計算比較容易。計算出喬丹子塊的多項式，再轉化回去就是矩陣的函式。

3樓：

物理人來無腦答一下。

任意表示和酉表示等價，然後酉表示fully decomposable？

我是不是理解錯了Jordan標準型是什麼233333朦朦朧朧記得看過一些，後面學表示論聯想到了，但是沒有回頭看Jordan標準型

4樓：倉鼠磨光

這學期同樣在做高代助教。覺得大家證明寫得太複雜，就自己把幾種證明重新寫了一下。其中有的證明寫得比較『符合直覺』。如下

最後英語太菜，請多擔待。

5樓：

我只講線性代數中的內容，不涉及近世代數。從Jordan標準型出現的motivation來看，你首先要明白Jordan標準型這種工具為什麼會出現？

本質來講，是為了解決線性變換不能徹底diagonalize的問題。既然已經不能徹底diagonalize了，那麼在這個情況下，我們迫切地尋找一種相對簡潔的表達方式，於是Jordan標準型應運而生。

而從計算角度來看，這恰恰是minimal polynomial在矩陣空間的反應。minimal polynomial越累贅，相應Jordan塊越大。此時也就是algebraic multiplicity和geometric multiplicity不對等，矩陣有虧損。

6樓：Eldorado

前幾天剛學過這個，來強答一下，日後再修改完善.

對於乙個PID上的有限生成R-模M,我們可以把它分解成乙個自由模和乙個扭模的直和,利用下面兩個命題:

(1)如M是扭模,則 ,其中為P-準素模.

(2)M是有限生成P-準素模,則M是有限多個迴圈P-準素模的直和,即 .

那麼我們可以把任意乙個PID上的有限生成R-模M分解,

去掉為0的部分得到M唯一同構於 .

將初等因子按相同素因子,指數由大到下排列:

令為第j列之積,將其由小到大排列為 ,為M的不變因子.從而可將結構定理改寫為 .

考查k[x]-模，即乙個有限維線性空間V和線性變換T(在基下矩陣為A)帶上數乘運算 .

再構造乙個自由k[x]-模數乘為

不難得到乙個短正合列:

其中而且我們可以顯然看出在基下的矩陣是 .

不難知道如果A,B相似,則相抵,反過來也是對的.不妨設設是在基下A,B給出的線性變換,我們可以得到交換圖:

>>V[x]@>\lambda_}>>V[x]@>\pi_}>>V^}@>>>0\\ @. @VVQ^V @VVPV @VVV\\ 0@>>>V[x]@>\lambda_}>>V[x]@>\pi_}>>V^}@>>>0 \end" eeimg="1"/>

前兩列都是同構,故是同構的,從而A,B相似.

由矩陣變換我們可以知道任乙個ED上的矩陣可以通過初等行列變換化成Smith標準型:

其中為不變因子.

不難知道對於乙個多項式其友方陣A=

的友方陣的特徵方陣的Smith標準型為 .

對於對應的方陣可以由行列變換為 (不變因子),其中

項式為最小多項式.

從而由短正合列可匯出

由上面得到的關係我們可以知道A與相似,其中是的友方陣.設，其中為R上兩兩不同的首一不可約多項式,則又可以得到與相似,其中其中為友方陣,E是只有右上角為1其餘均為0的方陣.

此時我們得到的相似標準型就是Frobenius有理標準型,如果所有的都是一次的,那麼即為我們熟知的Jordan塊，自然就得到了Jordan標準型.

最後講個笑話，我學線代里Jordan標準型這一章的時候老師是在不介紹線性空間的情況下只用矩陣打洞證明的！

7樓：

已經有人說PID上有限生成模的結構定理了，我補充詳細一點點，敘述得很初等........

設F是域，A是F上線性空間V上的線性變換，dim V=n。考慮環F[A]=，這是M_n(F)的交換子環。

設φ是F[x]到F[A]的自然同態，設I是F[A]的理想，則J=φ^(-1)(I)是F[x]的理想。由F[x]是PID知J=((g))，那麼I=((φ(g)))是主理想，即F[A]是PID。

考慮F[A]自然作用在V上，得到模結構每個子模都是V在A下的不變子空間。由PID上有限生成模的結構定理，V等於若干其迴圈子模V_i的直和。在每個V_i上可以選取α_i使得V_i=F[A]α_i，故α_i、A(α_i)、A^2(α_i)、.....

(在有限項停止)是V_i的基。這樣A在V_i上的限制的矩陣恰是F[x]中某素元的某個冪次的友矩陣。合起來就是有理標準形。

如果F還是代數閉的，那麼F[x]中的素元就形如x-a，這時候每個迴圈子模挑一組看上去舒服一點的基，就可以得到更漂亮的矩陣，就是Jordan標準形。

8樓：

題主厲害，我猜測目前還沒有哪位天才敢說自己會計算所有的Jordan標準型（我猜寫這個「型」應該也不算錯），尤其是當基本域很複雜時。因為計算Jordan標準型的一部分過程等價於不可約多項式的分解，而眾所周知這可不是什麼簡單問題。

當然上面只是玩笑話。說到這裡就不得不提到乙個很經典的題目了，各種基礎線性代數教材基本都會介紹複數域和實數域上的Jordan標準型，而且有些教材還會給出反例證明不存在整數Jordan標準型（比如李尚志的《線性代數》）。那麼問題來了，我們知道矩陣元素一般屬於除環，當然對於一般交換環我們也可以定義以其為元素的矩陣，那麼是不是對所有的這樣的矩陣，其上的Jordan標準型是存在的呢？

當然不是。定理：對於乙個域來說，我們一定有Jordan標準型。

這是乙個很經典的近世代數的應用。乙個著名的定理說，K[x]是主理想整環（PID）當且僅當K是域。根據PID上的模分解理論，任何有限生成K[x]模可以有形如的唯一標準分解，其中是K[x]中的不可約多項式。

乙個模擬是有限生成阿貝爾群（即是有限生成Z模）的分解，它的形式和上面的分解一模一樣。

而分解Jordan標準型，等價於上述的PID模分解，因為K[x]模的作用在基本域上是固定的，所以整個多項式環的作用取決於x的作用。一旦x的作用確定，整個表示也就確定了。所以，如果我們考慮（由於K是域，我們可以假設多項式首一），這是乙個商模，所有的元素都可以用次數不超過的多項式表示。

從而構成其的一組基，我們只需要知道x在基上的作用就可以了。對於次數小於的基，x作用相當於左乘，而對於最後一項，x將其變為。從而這是K[x]在上的作用，這等價於上的線性變換，從而等價於n*n的矩陣。

我們把它的矩陣形式寫出來，是這個樣子的：

這個矩陣我們稱為Jordan矩陣，把它記作C。我們把下面這個矩陣記為M：

那麼經過簡單的計算，我們知道上的作用的矩陣形式是

這個矩陣被稱為Jordan塊。我們最先的定理說，任何有限生成K[x]模都有唯一標準分解。從而所有方陣A都同構於若干個Jordan塊的直和，我們把這個矩陣稱為A的Jordan標準型。

在K是複數域的情況下，由代數基本定理我們知道，所有複數域上的不可約多項式都是一維的，從而所有的Jordan矩陣都是1*1矩陣，所以複數域上的Jordan標準型是

（當然副對角線上不一定有1）。

如果對Jordan標準型感興趣的人，一定知道對於有理數我們也是有Jordan標準型的，形式可仿照上面寫出。而Q上的不可約多項式分解到現在還沒有完整的判別定理，故而對於任何有理數矩陣的Jordan標準型，沒有任何機器演算法。

但至少我們可以給出乙個可行的演算法，我們把稱為A的特徵矩陣，容易看出，

是正合列，其中，是作用矩陣。現在，由於我們直到核與餘核在相抵下不變，我們只需要找到的相抵標準型，從而也就知道了A的Jordan標準型。我們把這個相抵標準型稱為A的Smith標準型。

在很多教科書裡都會講到如何通過Smith標準型得到矩陣的不變因子組和初等因子組，從而得到A的Jordan標準型，在這裡我就不贅述了。需要提醒的是，這個方法對於任何域都是可用的。

9樓：趙夢溪

代數封閉域上的線性空間上的線性變換，都能唯一分解成乙個半單線性變換(可對角化，適當取基可以使其對角元為它的特徵值)，和乙個冪零線性變換之和，而且此半單的線性變換和此冪0線性變換的乘積是可交換的。而Jordan標準形只不過是選取適當的基使得它在這組基下的矩陣表示足夠簡單。去掉Jordan標準形對角元(減掉乙個對角矩陣)之後剩下的矩陣的確是乙個冪0矩陣，它的階是所有Jordan塊的階的最小公倍數。

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