1樓：Tikvatenu
首先，我們很難對一些漂亮的理論（e.g., Lurie's Higher Topos Theory, Topological K-Theory）在資料科學裡的應用有太樂觀的信念。
我們知道資料科學的通常場景是從高維分布裡取樣的資料點集，而我們不見得具備關於這個分布的先驗知識。這也是為什麼流形學習看起來是個很難成功的領域——它所賴以降維的微分結構可能是太強的預設。
相比之下，TDA的適用條件要弱得多。給資料空間乙個度量，TDA基於取樣點的拓撲特徵——使用持續同調這個不變數，還原出原始分布的拓撲結構。
對於不熟悉持續同調的同學，一種直觀（當然，不嚴格）的理解方式是看圖[1]：
引於一五年刊於JMLR的Persistence Landscape
這張圖里有乙個資料點集，以它們為球心不斷增大半徑，圖形的拓撲結構——洞和連通性，會有乙個生滅過程（不是隨機過程裡那個生滅過程），這是說，比如，稀疏的分布，它的holes就會消失得慢點。
根據這樣的資訊，我們就能繪製出資料集的Persistence landscape。我直接把原文的圖二貼過來：
我們也會用其他方法對不變數進行視覺化，比如在
離散Morse理論（DMT）
裡所引用的Betti數Barcode：
這樣，我們可以看到資料集的拓撲性質。
關於sota的應用，在這裡分享乙個激動人心、尚不成熟的例子，是TDA的深度學習理論，被稱為神經同調（NHT）理論。
NHT最早應該發端於Monica Bianchini對深度分類器的有趣觀察，即：
當輸入維度 為常數時，深度神經網路所能表示的Betti數與隱藏單元數 成線性關係。
這個觀察在ICLR 2018被拒的《On Characterizing the Capacity of Neural Networks Using Algebraic Geometry》
On Characterizing the Capacity of Neural Networks Using Algebraic...
中被擴充為神經同調原理。這篇文章攻擊了Neural Architecture Search中基於泛化誤差的傳統觀點，提出通過定義同調複雜度來評估神經結構的泛化能力或者說capability，所謂的同調複雜度是這樣表述的：On Characterizing the Capacity of Neural Networks Using Algebraic...
中被擴充為神經同調原理。這篇文章攻擊了Neural Architecture Search中基於泛化誤差的傳統觀點，提出通過定義同調複雜度來評估神經結構的泛化能力或者說capability，所謂的同調複雜度是這樣表述的：
我們用 表示樣本空間，其中為負樣本點集， 為正樣本點集，用 表示所需要的二元分類器的函式空間，用 表示乙個函式 正支集上的同調不變數， 則是正樣本集的同調不變數，那麼同調原理是說：
如果存在乙個 使得 ，存在乙個正樣本子集 讓所有的 都在 中出錯。
這是說，如果乙個函式族（或者說一種神經架構）不具備和資料相匹配的拓撲結構，不管採用何種優化方案，一定存在它無法分類正確的點。至於這篇Capacity為什麼被拒，可以看OpenRiview鏈結上的交鋒過程，在這裡不給出主觀判斷。
相較之下，ICLR2019上有一篇命運更好的文章《Neural persistence: A complexity measure for deep neural networks using algebraic topology》
Neural persistence: A complexity measure for deep neural networks using algebraic topology
它的思路同樣是來估算神經結構的複雜性，通過定義neural persistence，或者說barcode的 範數
來刻畫神經網路的複雜性。
繼這兩篇文章後有更多利用TDA的深度學習理論工作，如[2]
[3][4]
[5]，在此權且不表.....希望通過這個回答拋磚引玉。
代數拓撲好的中文教材？
大筒目輝夜 我比較推薦尤承業老師的 基礎拓撲學講義 作為入門，想深入學習的話姜伯駒院士的 同調論 是很好的銜接。至於同倫論太難了，我就完全不懂了。 王箏 如果n 2那麼用基本群就能夠解決，但是n 2的時候就要用比如同調群或者其他工具了。然而遺憾的是Munkres的這本書裡面只講了基本群。當然，最好的...
學習代數拓撲需要什麼前置知識？
NIHAO 不用太多前置。需要提前適應比較 soft 的思維方式，先嘗試去想象一些homotopyequivalences.代數拓撲的很多概念和例子是需要想象的，否則你根本不知道怎麼去計算 參考 Allen Hatcher 的習題 比如我們從最簡單的乙個例子 體會 一下，為啥 identify 乙個...
拓撲量子場論在數學上有什麼應用？
拓撲量子場論既是數學結構的應用，也在數學上有所應用。拓撲量子場論最早應該是在拓撲量子反常，指標定理，量子場論的大範圍性質，量子群和量子可積系統等研究中慢慢產生的想法，最早被阿提亞大力鼓吹，鼓動了威騰等人的一些理論物理研究。威騰的關於超對稱量子力學的工作是乙個里程碑式的工作，引起了很多人的注意，也是他...