1樓：劉醉白
只從高等代數和抽象代數的角度做一些總結，不涉及群表示，如果有錯誤請指正。分別考慮 維矩陣環的加法和乘法。下面的陳述省略了維數，預設 維，逆矩陣是一般定義的關於乘法的逆矩陣，關於加法的逆矩陣會特別強調。
①對稱矩陣，對稱矩陣的和是對稱矩陣，加法滿足結合律和交換律，零矩陣是對稱矩陣，對稱矩陣關於零矩陣的逆是對稱矩陣，所以對稱矩陣關於加法是乙個交換群。
對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣，乘法滿足結合律，單位矩陣是對稱矩陣，可逆對稱矩陣的逆矩陣是對稱矩陣。
考慮實對稱矩陣中的正定矩陣，正定矩陣的和是正定矩陣，和滿足結合律和交換律，但是零矩陣不是正定矩陣，負矩陣不是正定矩陣，是關於加法的交換半群。
正定矩陣的乘積不一定是正定矩陣。單位矩陣是正定矩陣，正定矩陣的逆也是正定矩陣。
考慮實對稱矩陣中的半正定矩陣，半正定矩陣的和是半正定矩陣，和滿足結合律和交換律，零矩陣是半正定矩陣，關於零矩陣的逆矩陣不是半正定矩陣，是關於加法的交換含么半群。
②正交矩陣，正交矩陣的和不是正交矩陣。正交矩陣的乘積是正交矩陣，乘法滿足結合律不滿足交換律，單位矩陣是正交矩陣，正交矩陣的逆是正交矩陣，正交矩陣關於乘法構成乙個非交換群。
我們知道可逆矩陣是矩陣環中乘法的單位群，非交換，被稱為一般線性群 ，正交矩陣群是一般線性群的子群。
一般線性群中的矩陣 取行列式 ，是 非零實數乘法群 的同態，同態核 ，是一般線性群GL的正規子群，稱為特殊線性群SL。
，也就是所有對應旋轉的正交矩陣，根據子群的交集是子群，得到所有旋轉矩陣構成乙個群：特殊正交群，是,和的子群
比較經典的是 ，其結構可與正多面體相關聯。有關有限子群與正多面體關係可以參考2023年這篇文章
「如果把空間運動群的有限子群找出來，人們就對正多面體得到完全的分類，從這裡我們感到群論的力量」-劉紹學《近世代數基礎》。這裡空間運動群指的平移，旋轉和鏡面對稱構成的群。
③對角矩陣。很容易得出對角矩陣構成乙個含么非交換環，是矩陣環的子環。
待更新…
一直不解，為什麼如此定義矩陣的乘法，為什麼這樣一種怪異的乘法規則卻能夠在實踐中發揮如此巨大的功效？
jRONI Heinsenberg發明矩陣力學的時候根本不知道有矩陣這個東西。他的目的是構造一種具有superposition性質的運算。然後他乾成了。有限的甚至可數的superposition都可以用矩陣。當然線性也是可以做superposition的，區別在於superposition可以推廣到...
為什麼我覺得高等數學教材中一些證明是玩文字遊戲？
CuKing 這樣應該說是最嚴密的寫法，因為極限定義就是要求 0，而不是2 0，這樣是最嚴謹的。當然你的想法其實也沒多大問題，不過為了嚴密起見，你可以先證兩種表述等價，然後就沒問題了，畢竟數分是極其追求嚴謹性的，不能憑空得到什麼什麼，哪怕很顯然。當然這種東西自己驗算的時候跳了就跳了也沒什麼，就算正式...
《心學》中致良知與現實社會中一些具體事物的思想矛盾，誠求指教？
盤子 良知是無善無惡的。你為什麼要說這些話，為什麼要做那些事兒？想清楚！面對劫匪，就要無所不用其極，撒謊耍滑都是好的，只要能逃出來生天 面對客戶，就要全心全意為人民服務，自私自利就不行了。 無畏光明精舍主人 應邀佛法認為，善有善報，惡有惡報。都是因果報應。不論做什麼事，關鍵還是看是否是 損人利己 損...