1樓：CuKing
這樣應該說是最嚴密的寫法，因為極限定義就是要求ε>0，而不是2ε>0，這樣是最嚴謹的。
當然你的想法其實也沒多大問題，不過為了嚴密起見，你可以先證兩種表述等價，然後就沒問題了，畢竟數分是極其追求嚴謹性的，不能憑空得到什麼什麼，哪怕很顯然。
當然這種東西自己驗算的時候跳了就跳了也沒什麼，就算正式證明其實也不大會要求你寫得這麼嚴謹。
但是作者畢竟是寫書，還是得嚴絲合縫才行。
2樓：弱弱的數學愛好者
這個操作只是使定理證明的最後部分看起來好看一些而已，和定理的證明思想合起來就相當於人的衣服和靈魂，談戀愛的時候你會二者都想要。
3樓：未果
首先，對ε限制上界（如果沒理解錯應該就是你說的取值）能保持極限定義的等價性。比如有的時候用極限定義證明乙個極限的時候取ε<1，這個做法是否合理？要注意到的是，ε是乙個任意小的正數，因為ε足夠大的時候極限定義的條件是非常容易滿足的（ε相當於你對自變數很接近時函式值之間間距的限制，限制放的足夠寬，自然容易滿足），所以只要在ε<1的情況下，極限定義的條件被驗證了，ε>1的情況是十分顯然的。
然後是對ε做數乘之後能保持極限定義的等價性。極限定義裡的ε要求是乙個任意小的正數，那請問ε/2和2ε是否可以任意小？顯然是可以的（對於任意給定的正數M，分別取ε為小於2M、M/2的正數就可以）。
剛回看了題目，題主說的取值就是後者，那前者就當作乙個補充看看吧，另外，你們老師說的是對的，有的時候，特別是在課本上，證明的書寫會想要保持一種一致性的美觀，就是盡量讓最後得到的結果和要用到的定理的形式保持一致。這個完全是書寫習慣，只要沒有破壞定理條件的等價性就ok（比如如果你取ε+1作為任意小的正數那就會破壞極限定義了）。
4樓：朝聞道
是「無必要」的證明，跟選取體系有關，有的體系的教材不會要求強行湊「單位1」 的任意小出來
不過其實做一下也無妨，就當成是練習了，畢竟你考試時不可能自己立乙個評價標準的，平時沒上手的話考試遇到這種情況就費力了
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