能在多大程度上以及如何將么環 ring 中的概念和命題轉化到環 rng 中

1樓：切我

很有趣的問題。我剛好做過這方面相關的研究，就簡單講一下。這裡用範疇論的語言來解釋這個問題。

設 ring 的範疇為，rng 的範疇為。我們知道的初始物件是。考慮範疇（中所有到的態射組成的範疇），設是這個範疇裡的乙個物件。

易知作為含么環同態一定是乙個滿射（作為集合對映的滿射），設它的核是，一定是乙個 rng。這樣我們就建立了乙個從到的函子，容易證明這是乙個範疇等價。因此要研究，只用研究就行了。

關於無么環的論斷可以轉化成關於含么環的論斷。與遺忘函子的復合就是問題描述中那個在環中新增么元的過程。

那麼從出發能不能用純粹範疇論的方式構造乙個與範疇等價的範疇呢？答案也是可以的，只不過構造方式相比起來要複雜許多，這裡就不描述了。也就是說關於無么環的論斷和關於含么環的論斷某種程度上說是可以互相轉換的。

這是否就意味著我們著用考慮無么環和含么環中的乙個就夠了呢（鑑於從含么環到無么環要比從無么環到含么環容易，保留的那個會是含么環）？讓我們繼續往下看。

眾所周知，範疇的行為和拓撲空間範疇的對偶範疇有些類似。我們把一下類似的構造用到上面。的初始物件是單點拓撲空間，而範疇就是帶點拓撲空間範疇的對偶範疇。

這樣我們就得到了乙個非常有趣但是迄今為止還不怎麼出名的模擬：無么環之於含么環就相當與帶點拓撲空間之於不帶點拓撲空間。這個模擬能給我們什麼啟發呢？

我們可以參考代數拓撲裡看待不帶點拓撲空間和帶點拓撲空間的關係的方式來看待含么環和無么環的關係。代數拓撲裡不帶點拓撲空間和帶點拓撲空間都是重要的研究物件，兩者各自有各自的優勢。毫不意外地，類似的現象在代數拓撲的一種環論模擬——代數 K 理論也發生了，無論是含么環還是無么環在這裡都有自己的位置。