1樓：No Vacancy
強答一波。鑑於題主數學素養可能不是很高，本回答盡量寫的通俗易懂些。
不妨設:長方體中,長為a,寬為b,高為c.( )
正方體邊長為m.
由長方體表面積公式:
由正方體表面積公式:
因為 所以有:
整理,得:
由長方體體積公式和正方體體積公式,有：;.
採用作商法(體積均大於0）:
.顯然,若 1" eeimg="1"/>則 V_" eeimg="1"/>;
若 則 ;
若 則 .
將 式變形，有：
由於當且僅當 時等號成立，與題設條件相悖，故取不到等號.
即 (abc)^}" eeimg="1"/>注：此處用到的 為基本不等式的推廣之一，稍後會給出證明.
由 (abc)^}" eeimg="1"/>[(abc)^}]^}" eeimg="1"/>(兩邊同時乘方）abc" eeimg="1"/>（冪的運算法則）\frac}=N" eeimg="1"/>(兩邊均為正數）（代入）
設.則:
變形，有： ......
令 則： ......
式即為基本不等式的基本形式，其中 ，當且僅當 時等號成立.
顯然， ......
式很容易證明，此處略去不寫.
對 式進行改寫：
......
聯立 兩式，立即得到：
......
式中，當且僅當 時等號成立.
同理，對 分別應用 式：
......
式中，當且僅當 時等號成立.
聯立 式，有：
......
式中，當且僅當 時等號成立.
令： 替換式，得：
......
令： ,代入得：
......
式中，當且僅當 時等號成立.
證畢.
2樓：
長方體的容積不會大於正方體的容積.
證設 是長方體的三邊，則其表面積上述不等式由算術平均數不小於幾何平均數得到. 其中等號在 時成立.
於是就有長方體的容積
而表面積為 的正方體的容積恰好就是 . 證完.
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