1樓：王超
可知面AOB法向量=(-a,b,0知乎不支援向量符號,用短橫代替.
面DOA法向量=（0，0，1），根據空間向量夾角公式，
則cos==0，即=，同理=；
又已知C(b,a.H),可求得面COD法向量=（a，-b，0）；
面BOC法向量=（-bH，-aH，）；
則cos==（用Mathematica計算得出截圖中的結果）
分割線算到這兒已經完全崩潰了，決定全部使用Mathematica來做，
寫的乙個Mathematica的計算過程（用W代替E）：
Subscript[A, A] = ;(*點的座標，同時也是向量*)
Subscript[A, B] = ;
Subscript[A, C] = ;
Subscript[A, D] = ;
Subscript[A, W] = ;
Subscript[A, F] = ;
DOA = ;(*面的法向量，右手法則*)
COD = Cross[Subscript[A, D], Subscript[A, C]];
AOB = Cross[Subscript[A, B], Subscript[A, A]];
BOC = Cross[Subscript[A, C], Subscript[A, B]];
Subscript[b, 1] =
ArcCos[(AOB.BOC)/(Norm[AOB]*
Norm[BOC])];(*Subscript[L, 1]對應的球面四個角,順時針分布*)
Subscript[b, 2] = ArcCos[(COD.BOC)/(Norm[COD]*Norm[BOC])];
Subscript[b, 3] = ArcCos[(COD.DOA)/(Norm[COD]*Norm[DOA])];
Subscript[b, 4] = ArcCos[(AOB.DOA)/(Norm[AOB]*Norm[DOA])];
Subscript[S, 1] =
2 Pi - (Subscript[b, 1] + Subscript[b, 2] + Subscript[b, 3] +
Subscript[b, 4]);(*令球半徑為1,Subscript[S, 1]Subscript[為L, 1]對應的球面*)
Subscript[A, G] = ;
Subscript[A, H] = ;
DOC = Cross[Subscript[A, C], Subscript[A, D]];
COF = Cross[Subscript[A, F], Subscript[A, C]];
FOH = Cross[Subscript[A, H], Subscript[A, F]];
HOD = ;
Subscript[b, 5] =
ArcCos[(DOC.COF)/(Norm[DOC]*
Norm[COF])];(*Subscript[L, 2]對應的球面四個角，順時針分布*)
Subscript[b, 6] = ArcCos[(FOH.COF)/(Norm[FOH]*Norm[COF])];
Subscript[b, 7] = ArcCos[(FOH.HOD)/(Norm[FOH]*Norm[HOD])];
Subscript[b, 8] = ArcCos[(DOC.HOD)/(Norm[DOC]*Norm[HOD])];
Subscript[S, 2] =
2 Pi - (Subscript[b, 5] + Subscript[b, 6] + Subscript[b, 7] +
Subscript[b, 8]);(*Subscript[S, 2]Subscript[為L, 2]對應的球面*)
HOF = Cross[Subscript[A, F], Subscript[A, H]];
GOH = ;
WOG = Cross[Subscript[A, G], Subscript[A, W]];
FOW = Cross[Subscript[A, W], Subscript[A, F]];
Subscript[b, 9] = ArcCos[(HOF.FOW)/(Norm[HOF]*Norm[FOW])];
Subscript[b, 10] = ArcCos[(WOG.FOW)/(Norm[WOG]*Norm[FOW])];
Subscript[b, 11] = ArcCos[(WOG.GOH)/(Norm[WOG]*Norm[GOH])];
Subscript[b, 12] = ArcCos[(HOF.GOH)/(Norm[HOF]*Norm[GOH])];
Subscript[S, 3] =
2 Pi - (Subscript[b, 9] + Subscript[b, 10] + Subscript[b, 11] +
Subscript[b, 12]);(*Subscript[S, 3]Subscript[為L, 1]對面的球面*)
BOA = Cross[Subscript[A, A], Subscript[A, B]];
WOB = Cross[Subscript[A, B], Subscript[A, W]];
GOW = Cross[Subscript[A, W], Subscript[A, G]];
AOG = ;
Subscript[b, 13] = ArcCos[(GOW.WOB)/(Norm[GOW]*Norm[WOB])];
Subscript[b, 14] = ArcCos[(BOA.WOB)/(Norm[BOA]*Norm[WOB])];
Subscript[b, 15] = ArcCos[(BOA.AOG)/(Norm[BOA]*Norm[AOG])];
Subscript[b, 16] = ArcCos[(GOW.AOG)/(Norm[GOW]*Norm[AOG])];
Subscript[S, 4] =
2 Pi - (Subscript[b, 13] + Subscript[b, 14] + Subscript[b, 15] +
Subscript[b, 16]);(*Subscript[S, 4]Subscript[為L, 2]對面的球面*)
BOW = Cross[Subscript[A, W], Subscript[A, B]];
COB = Cross[Subscript[A, B], Subscript[A, C]];
FOC = Cross[Subscript[A, C], Subscript[A, F]];
WOF = Cross[Subscript[A, F], Subscript[A, W]];
Subscript[b, 17] = ArcCos[(WOF.BOW)/(Norm[WOF]*Norm[BOW])];
Subscript[b, 18] = ArcCos[(WOF.FOC)/(Norm[WOF]*Norm[FOC])];
Subscript[b, 19] = ArcCos[(COB.FOC)/(Norm[COB]*Norm[FOC])];
Subscript[b, 20] = ArcCos[(COB.BOW)/(Norm[COB]*Norm[BOW])];
Subscript[S, 5] =
2 Pi - (Subscript[b, 17] + Subscript[b, 18] + Subscript[b, 19] +
Subscript[b, 20]);(*Subscript[S, 4]為頂球面*)
S = Subscript[S, 1] + Subscript[S, 2] + Subscript[S, 3] + Subscript[S,
4] + Subscript[S, 5];
最後一步是驗證，得到近似2Pi，不知道是不是因為結果過於複雜沒有化簡得到2Pi。
最終得到頂面積投影佔總投影比例公式為
同表面積長方體和正方體哪個容積大
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