1樓：尹孑
不用積分不用積分
以後我就這麼教學生了
正好在研究這個，首先祖?原理按照教材推導知道球的體積公式以及錐體的體積公式，把球面等分成很多個小的三角形（或者四邊形）面積s0 s1 s2……
有1/3 （s0+s1+……sn）R=4/3 pi R的三次方變形一下就得到了表面積公式
2樓：Songby
我們以球體為例吧，既然題主要求用高中知識，那定積分肯定是學過的。
我求球體的表面積前得先求球體的體積，這裡我可以用定積分推導一下。
先畫乙個半球，最下面大圓的圓心記為原點O,過原點垂直於該平面引一條座標軸，記為h軸，h表示到最下面平面的距離。
設該半球的半徑為R。見下圖，在該軸上取乙個H點，對應座標為h，過H點做與底面平行的平面與球體相交，相交的面也是圓。設這個小圓的半徑為r。
那麼則有R-h=r 這個小圓的面積為πr
如下圖，想象這個半球像下圖這樣橫截著被切成無數塊小圓柱，(因為柱體高度很小，每個圓柱上下表面可看做相等)圓柱的上下表面積為πr,高度為dh，(dh是乙個整體的符號，表示lim△h→0)
那麼對於每乙個小圓柱，它的體積有
這表示任乙個座標為h對應的小圓柱體積，那麼對於整體的半球就相當於無數個這些小圓柱體積加在一起，就是下面這個東西:[h∈(0,R)]
對該式運算如下
半球體積再乘二就是球體的體積，即4πR/3
題主想要求球體表面積，我卻求了球體的體積，我跑題了嗎?並不是，我們還要用到一點點極限的思想。
下面這個圖需要各位發揮一點點想象力了，想象這是乙個大球內建著乙個小球，原諒本人不會畫球QAQ
最外面那個球的體積為4πR/3
我們設lim△R→0 , 裡面的那個球的體積為4π(R–△R)/3
可以發現大球刨去小球剩下的就是乙個超薄的球殼(很薄很薄的喲~)
這個球殼理論上可以想象成乙個上下表面是球表面完全展開在乙個平面的樣子，厚度為△R的超薄柱體，它的體積就是
V=4πR/3–4π(R–△R)/3
所以這個柱體的上下表面，也就是球表面的展開圖的面積就是V/△R
即半徑為R的球體表面積S=4πR
這也就是我為什麼先求體積才求表面積的原因，事實上好多立體圖型都可以這麼求表面積和體積。
仔細觀察可以發現球的體積對球半徑R的導數就是球的表面積。通過上面的過程其實也很好理解，導數的定義就是 y』=dy/dx (dy表示lim△y→0,dx同理)。上述過程中，我們用大球體積減小球體積相當於dV,而△R其實就是dR，我們求表面積就相當於dV/dR，這也就是V』了。
同理我們可以想想平面上的圓的面積與周長的關係,設圓半徑為R，(πR)』=2πR
下面我們就要試著搞一搞圓的面積了，當然這些可以直接忽略，我擔心有些東西我沒解釋明白而且跟高中也沒啥關係。
前提知識
理解以後我們就開始積分了，以下過程用到了第二類換元積分。
至此，題主的問題應該算是解決了吧。
3樓：李英夫
去看阿基公尺德（或者祖沖之/祖?）推算球體體積的方法，然後球體可以想象成無數個四稜錐椎體的和，和等於球的體積，四稜錐底面積x1/3球體半徑（椎體的高）等於椎體體積，所以1/3球體表面積 x R=球體體積，得出球體表面積等於4πR
以上方法沒有用到任何微分符號，笛卡爾座標，甚至在那個年代連阿拉伯數字都沒有用到
中國真的在文化、數學上都曾經領先世界幾百年嗎？
阿基公尺德是如何發現球體體積和表面積公式的？_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili
4樓：TravorLZH
這裡給出乙個幾何的做法：
首先我們需要使用到這些工具：
正弦函式二倍角公式：
正弦函式的小角近似：余弦函式的小角近似：現在請讀者們準備好飲料、系上安全帶，觀賞這個幾何盛宴吧：
其實，我們可以將球的表面分成很多個如下圖所示的橙色圓環。
所以我們只需要想方設法得到橙色區域的面積表示式，就可以通過相加的方法來得到整個球的表面積。現在我們再增加一些輔助線以及符號來完善這個分析：
如圖，我們設球體的半徑為R，OA與y軸夾角為 ， 。而當 非常小的時候，我們可以通過以下的公式來近似橙色區域的面積（ 越小，式子右側與左側越相近）：
紫色區域為橙色區域到大圓的投影
根據圓環的面積公式，有（箭頭處使用了三角函式的小角近似公式）：
其中當 越小，最後的近似公式 越接近紫色區域的面積。
現在我們對這個公式應用正弦函式的二倍角公式，得：
仔細觀察等式的最右側，我們發現 。
把所有 內所有的 相加，可以得到大圓的面積 。而把所有的 內的 相加，可得到半球的表面積：
因此，我們得到球的表面積為大圓面積的四倍，即
如果你學過微積分，可以考慮直接通過對第一節所得結論積分來得到球的表面積公式：
5樓：毛毛褲先生
用微積分啊，微積分事實上是很簡單的一種證明方法，別的國家初中就教了甚至小學就教了，我們一直拖在高中才教，為什麼這個成立那便是我們要用到微積分的時候往往是我們要用的時候，用那麼就和效果作用有關，至於他在代數等上是否成立誰在意呢?
6樓：Mephisto
我當年上高中的時候，高中課本已經有微積分的內容了。是的，高中就開始學微積分了。高中《數學》課本上寫了導數定義，初等函式求導公式，積分定義，牛頓萊布尼茲公式。
書上講積分定義的時候，就從定義上計算了 ，求得了面積。書上的圖我就不畫了，我把書上的計算過程重新寫一下：
看到這計算過程，有沒有勾起你在高中的回憶？
網上隨便搜一下微積分教材，求體積和表面積總是使用二重積分。其實啊，如果僅求旋轉體體積和側面積，根本不需要二重積分，僅用高中階段的定積分就搞定了，儘管旋轉體內容高中課本不講。
旋轉體體積：若一元函式 在區間 內連續，則 繞 軸旋轉一圈後，形成的體積為
旋轉體側面積：若一元函式 在區間 內可導，則 繞 軸旋轉一圈後，形成的側面積為
公式我先直接放上來了，就是高中階段所講的定積分，計算可用萊布尼茲公式，推導過程也是使用定積分定義。不過，因為是寫給高中生看的，所以我會寫得詳細（囉嗦）一些，方便理解。
如果用紅線（連續折線）代替曲線，那麼旋轉體由圓台拼接而成，側面是連續曲面；如果用藍線（躍遷階梯線）代替曲線，那麼旋轉體由圓柱拼接而成，側面是有縫隙的斷續曲面。
如果是求體積的話，紅線和藍線都可以替代。在 處，有增量 。
對於圓柱而言，半徑是 ，高是 ，所以體積是
所以圓台體積幾乎等於圓柱體積，即計算旋轉體體積即可用紅線也可用藍線。不同在於：1、藍線的計算量比紅線少很多；2、用紅線計算要求函式可導，用藍線計算僅要求函式連續，即用藍線計算對函式的要求較低。
所以體積為
如果是求側面積的話，紅線和藍線就不能替代了。
對於圓柱，半徑是 ，高是 ，所以側面積是
對於圓台，小半徑是 ，小側線是 ，大半徑是 ，大側線是 ，
顯然 ，所以圓台側面積基本大於圓柱側面積。圓台側面是連續的，更能擬合旋轉體側面積；而圓柱側面有縫隙，計算的側面積偏小。所以計算側面積採用紅線。
所以側面積為
球，其實由 繞 軸旋轉一圈形成，是旋轉體。
在 內連續。球體積
在 內可導，雖然在端點處不可導，但是去掉兩個點並不影響積分。球的兩個底面都是點，底面積為 ，表面積等於側面積。表面積
就是這麼簡單！
7樓：來自虛空的Xetta
我們先來解構一下高中數學中的祖?原理。祖?原理給了我們一種通過表面積算出體積的方法，以及實際上更重要的通過體積反推表面積的方法。就是說，我們如果想算出其中乙個量，就必須先知道另外乙個量，即有公式 ，然後高中課本上直接給出了公式 的證明：
把球切成等高 的每乙個小片，而這些切片的體積都近似於乙個圓柱的體積注意到若切片越細則精度越高，則令 得
這就是球體的體積公式，然後我們利用祖?原理就可以求出球體表面積Q.E.D
我一直有乙個浪漫的情節，那就是讓老祖宗的智慧型到現在也能發光發熱。我把祖?原理推廣到了任意正整數n維幾何體的情形，而且我還證明實際上祖?原理等價於「幾何體對體積求導後得到表面積」，即
n維幾何體存在引數滿足當且僅當。來自虛空的Xetta：廣義祖?原理——對體積表示式的變數求導後得到表面積的n維幾何體
8樓：自學生
一我用我發現的個人觀點回答問題。內外方體正中球體的3*3=9，9*3=27，10*3=30，11*3=33，的一對正中30水體物質重量容量球體時間統一原理模型。
9樓：非著名物理學渣
我高中的時候算過球的體積，跟課本上把圓柱摳下個圓錐的方法不一樣。
從球心出發，把球體切割成無數個小稜錐，這樣利用稜錐求體積的公式：
（1/3）*4pi*（4pi*R是球的表面積，相當於稜錐的所有底面積之和）*R（稜錐的高就是球的半徑R）=（4pi/3）R^3。
下面開始正文。
用課本方法求出球的體積
課本中，計算半徑為R的半球的體積方法如下：將半球體平放，切成無數個水平的薄片，每個薄片的面積可知=（2/3）*pi*R^2，就等於乙個底面半徑為R，高為R的圓柱，從頂上摳掉乙個（倒扣的）底面半徑為R，高為R的圓錐，這樣每個水平截面與球體的截面對應相等。所以半球的體積為（2pi/3）R^3，乘以2則得到球體體積（4pi/3）R^3
逆用前面我說的球體積公式，得到球的表面積。
啊哈哈，我好機智！
10樓：
不用微積分直接算的方法都不嚴密，如果只是求個思路，可以用當年推出這個面積值的阿老的辦法：
設很小角度 在球面上的一小截，長度為 。
對應在球面上的一圈細帶展開可以得到乙個長為 ，寬為 的長方形，面積為對應在球外切圓柱面上的一圈細帶展開可以得到乙個長為 ，寬為的長方形，面積為
因此球表面積和外切圓柱側面積相等，即 。
換句話說，作任何乙個橫截面，截球面和圓柱面為兩個同心圓，兩圓周長比例為 ，對應的圓柱上的垂直細帶高度和球面上的傾斜細帶高度比例也是，兩者抵消。
11樓：文開月
根據高中課本上面利用祖?原理求球體積的推導，可以得到半徑為r的球體積為 。
取包含球心的球內接多面體T，設T的面有 ，其中 的面積 最大值為 。當 充分小時，我們認為T的表面積可以近似球的表面積 ，而體積可以近似球的體積。進一步地，當 充分小時，球心到 的距離 都無限接近 。
將多面體分割為若干個以球心為頂點的錐體，並把上文的推理用極限語言寫出 0}\frac\sum X_ih_i=\lim\limits_\fracr \sum X_i=r\lim\limits_ \frac\sum X_i=\fracrK" eeimg="1"/>
從而我們有 。
Unity 用C 如何在球體表面生成均勻分布的座標點！求演算法！？
對於分布 那麼分布 在 單位球面上均勻分布.對於 用 每次取樣三個數 那麼 在 的球面 上是均勻分布的.用Box Muller取樣方法 整個演算法時間複雜度是線性的 玩兒的就是心跳歸來 不知道題主所說的均勻分布的點是什麼意思？是按照均勻分布隨機取乙個點還是找到一堆點均勻的落在球面上 類似Quasi ...
如何自學高中知識呢？理科
pretend 理科的自學很簡單也很難，建議你把那幾本高中用的書都學完了就刷題吧，對著你不會的，錯的題多做幾遍，把他完全啃下來。不會做的題對著答案好好理解理解，理科這種題只要乙個題能完全理解，那這一類題你就完全沒問題，做著還感覺越做越輕鬆，就這麼慢慢來，把所有的錯題都完全理解了，輕輕鬆鬆一本 搏看風...
該如何快速完成學習理科高中知識？
ze澤 寫個數學單科的吧，但是本人也沒有完全按照這種方法 開始不了解 可能只針對數學，要求天賦毅力需有其一 step1 了解，記憶最基本的公式 step2 找高考真題分類解析的書 天利38套 去被高考題虐吧，欣賞幾道題之後那個模組就可以試著自己做了。step3 直面整套高考卷，通過刷題提高其他屬性之...