1樓：Liu Bill
其中關於商代數的說明是：
根據元素間的等價關係，可以對代數系統進行抽象。首先定義乙個運算的抽象性：如果運算結果不區別等價元素，那麼運算過程也可以不區別等價元素，這稱為等價關係對運算具有置換性質。
然後抽象整個代數系統：如果乙個等價關係對代數系統上所有運算都具有置換性質，則該等價關係稱為代數系統上的同餘關係；對於代數系統上的同餘關係，可以證明，其等價類對擴充套件意義下的原有運算構成代數系統，稱為商代數。所謂擴充套件意義的原有運算，定義為等價類運算結果的代表元等於代表元運算的結果，其實就是從前述運算的抽象性來的。
不難知道，存在從代數系統到其商代數的同態。其實商代數與同態是相互聯絡的。乙個系統到另乙個系統的同態對映可以匯出前者上的等價關係，可以證明是前者上的同餘關係，從而產生乙個商代數。
為什麼會有這種聯絡呢？商代數是用等價關係來抽象代數系統的結果，而同態可以對映乙個代數系統。對映的過程實際也是一種抽象，乙個系統的運算可以對映到另乙個系統，其實在前乙個系統形成了一種置換性質；反過來，用等價類作抽象也是一種對映，等價關係對某種運算具有置換性質，其實產生了原運算到一種抽象運算的對映。
正如前面所說，對映和抽象有密切的關係，乙個代數系統的對映和乙個代數系統的抽象將產生同樣的結果，代數系統的同態象和商代數是同構的。
進一步，在有限個元素的代數系統上，同餘關係(及其商代數)是可數的，這意味著代數系統的同態也是可數的，雖然乙個代數系統可對映到各種各樣的同型別代數系統，但是我們只關心其對映關係，這就可以理解同態的可數性。所有的自同態中包括了所有可能的同態情況，但是可能有重複。
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