1樓：彷徨的夸克
我不知道為什麼會問出這麼籠統的問題。積分的運用當然就一條：需要用的時候就用。
對大部分情況，物理中的積分和數學裡理解的最基本的積分定義是一致的，萬變不離其宗：把無窮多的無窮小乘以被積函式再連續求和。具體來說，大概有以下幾類：
1、最最簡單的，幾何意義上的無窮小量：算面積。不過物理裡面好像沒什麼會這麼用。
2、描述漸變過程，包括隨空間的分布，也包括隨時間的演化。也可以用於表述「積累效應」，比如經典力學中的作用量就是L在時間上的積分。李群中無窮小變換的累積也可以用積分描述。
3、作為希爾伯特空間內積在連續情形下的推廣。比如量子力學中的p空間和x空間。動量和位置空間的傅利葉變換的物理意義也可以這樣解釋。
4、積分變換。積分變換也會有物理意義。比如傅利葉變換可以視作時域-頻域的轉換。這種情形與內積中的求和推廣為連續情形下的積分類似。
但積分不止有這一種形式。還有更複雜的，比如泛函積分。在量子力學、量子場論中，泛函積分是路徑積分的數學形式，但說白了也是分立求和推廣到連續情形。
還有更加廣義的，比如Grassman場的積分。這個積分純粹是一種數學形式，用於滿足費公尺子的反對易關係，進而進行路徑積分量子化，一般不去研究他是否具有「微分再求和」的意義。這個數學上是否有類似的方式去定義我沒查過，學習量子場論的過程中目前還沒有遇到需要把Grassman積分定義成求和形式的情況。
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