1樓：jerry tom
很多答主都提到了分離變數法，但事實上分離變數法是有侷限性的，因為我們並不能保證偏微分方程的解是兩個函式相乘的形式。下面是比較嚴格的處理。
問題的起源是我們關心物理上隨時間流逝不變的狀態，也就是定態(stationary state)。需要注意的是這裡state在數學上不是Hilbert space 上的vector, 而是其投影空間 上的元素（簡單來說就是允許函式差個復的常數因子）。可以證明 是演化方程 的解。
（題外話：修改一下答案，發現自己犯了乙個錯誤。即由於Schrodinger equation前面有個i的係數，可以很明顯的看出-i*H是monetone, 所以Schrodinger方程的解在任何情況下都是唯一的。
量子力學的關於時間演化的公理也可以由乙個one parameter unitary operator group表述的，即 。然後根據Stone's theorem, 我們可以得到存在唯一的乙個self-adjoint operator H使得 , 然後這個薛丁格方程自然成立。這兩種關於時間演化的表述是等價的）
回到正題，由self-adjoint operator的譜定理，存在一種表示使得 。由上所述，我們關心的是定態，唯一的可能是H(x) 是常數函式，不妨設其為E。將 代入薛丁格方程，我們就得到 , 而這是乙個本徵值問題，也即通常所說的time independent Schrodinger equation。
2樓：Terry Geng
各位大佬都只是在答案裡勾勒了乙個輪廓，這裡把具體推導過程寫出來（其實隨便一本量子力學教材裡都有）。
所謂依賴時間的Schrodinger方程寫作這個模樣
是Hamilton運算元，展開後寫作
或者不使用梯度運算元，可以改寫成
如果認為波函式 中，時間項和空間項是分離的，可以用 來描述（注意 是兩個不同的函式），其中 .
那麼將 代入Schrodinger方程，得到
等式兩邊同時除以 ，得到
可以看出，等式左邊完全是 的函式，而等式右邊完全是 的函式。所以等式兩遍必然都等於同乙個常數。否則如果固定t，改變x,y,z，等式將無法成立。
設這個常數為 ，則 ，
也就是中間，用到的把等號兩遍搞成不一樣的自變數的函式，並因此認為兩遍同時等於乙個常數的方法，就是做物理的解微分方程的常用手段，也就是其他幾個答主提到的分離變數法。
當然，分離變數法要求波函式必須能寫成乘積的形式。做物理的一般也只關心能這麼幹的情況。除了用乘法的還有用加法的，比如經典力學解Hamilton-Jacobi方程的時候。
3樓：Jun
物理上來說，time independence或者說時間平移不變從對稱性上意味著能量守恆。於是，對於方程而言，就分離變數得到的不含時部分對應於能量守恆的定態解（含時部分對應於相位）。如果體系不是保守系統，能否這樣分解就不一定咯。
4樓：
乙個只含x的方程，等於乙個只含y的方程，所以就認為他們等於乙個常數了。
而薛丁格方程把(p,q)和t一分開，這個常數正好等於能量E。
（大概就是這個意思。）
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