1樓：wonderwind
初中的定義：人們在長期實踐中總結出來的真命題，叫做公理。
但這顯然不是本質。
比如黎曼幾何第五公設要求過直線外一點沒有直線與已知直線平行，這是直接規定的，不是實踐總結的。總之，不是「自明之理」。
上世紀初人們認為公理需要滿足三個性質：無重複性、完備性、一致性。著名的希爾伯特23問題之一就要求數學家證明作為數學基礎的集合論滿足完備性、一致性。
無重複性是說，一條公理不能被別的公理推出來。否則，這就是定理而不是公理了。
完備性是說，體系中所有命題都可判斷真假。
一致性是說，不能有乙個命題被用公理推出相反的結果。也就是說,不能有兩條公理相矛盾。
重要性肯定是依次遞增的。
可是，在集合論的策梅羅公理體系中，連續統假設被證明不能證明，也不能證偽。也就是說違背了完備性。
後來哥德爾證明了，任何乙個公理體系，如果（客觀上）滿足一致性，則一定不滿足完備性，且在公理體系內無法自己證明自己滿足一致性。希爾伯特的問題以這樣的形式得到解決。
2樓：
[gōng lǐ]
公理本詞條由「科普中國」科學百科詞條編寫與應用工作專案 審核 。
公理是乙個漢語詞彙，讀音為gōng lǐ，是指依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反覆實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。（公理究竟是如何確認的？）
在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。（為什麼把這些命題當成公理而不是其他命題？
公理已經是不需證明的東西，不再成為命題，只作為命題的起點）和定理不同，乙個公理（除非有冗餘的）不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為定理了。
至於公理的過程，無非反覆思考實踐驗證。
而公理何以不可動搖，參考康德純粹理性批判。
3樓：哲不斷
公理相當於乙個大前提，首先假設其成立。然後以此為邏輯原點進行推導。兩條平行的直線真的不相交？這建立在空間是平滑的基礎上，我們假設空間是平滑的。
類似這些公理是形式邏輯的外延，它們被指定為乙個標準。然後以此標準來衡量其它事物。它們並沒有實在性，是人的邏輯思維的形式化。
所以想要求證一些公理，只能在它的體系內來求證，但它就是原點……所以求證不了。而所有的公理都建立在形式邏輯的基礎上。
4樓：形神邏輯
公理是通過無數的反證而確立的。適合於論域裡的一切物件[沒有乙個可以確認的反例]的命題，就叫公理。
公理是不可能『歸納』出來的。因為不完全歸納是證明不了公理的，但完全歸納在無限論域中又是不可能的。
例如，『宇宙中質量是無窮大的』。就是公理，因為沒人能夠計算出宇宙的質量是乙個有限的值。
5樓：Sylvan的夜晚
我覺得公理是歸納出來的。
我的意思是說，理論家在把一系列相關的（數學）定理、（物理）定律梳理總結為一套體系的時候，就會把幾條命題放在邏輯推導的起點，於是這幾條命題就成為這套理論的（數學）公理、（物理）公設。如果理論家所建立的理論體系比較成功，那麼所規定的公理、公設就為大家所接受。
6樓：
可能題主認為的公理是「顯然無需證明的結論」，但實際上不一定。「顯然」只是公理追求的目標，但並不是硬性規定。
公理真正的要求是任何公理都不能被其它公理證明或推翻。滿足這一點足矣。
至於乙個已經被證明是無法被已有公理證明或推翻的結論要不要拿來做新的公理，如果大家認為它是「顯然的」，就可以做新的公理。你也可以把它的反面拿來做公理，也許得不到有價值的結論，但至少還是個合法的公理系統。可能大家不用罷了。
有的公理要不要承認是有爭議的，比如選擇公理。於是很多定理都需要指出它是不是依賴選擇公理。
7樓：
因為這些公理符合兩個條件：
這些公理得出的理論是有一定複雜度的
1是最重要的。比如，我把1=2作為一條公理，那麼任何乙個命題都是真的，這就沒有意思了。
然後2的話可以說是一種副產物。
滿足這兩個條件的都可以當成公理。比如ZFC（ZF加上選擇公理）可以，ZF + ~C（ZF加上選擇公理的否定）也可以。
8樓：趙明毅
如果你採取柏拉圖主義，那麼我們選的公理就是理念世界中的那些公理，問題在於為什麼相信這些公理就是理念世界中永恆不變的東西。
如果你採取亞里斯多德主義，公理無非是一群人約定的遊戲規則，採用什麼遊戲規則純粹是為了好玩（有越多人願意玩的就是好玩）。
1 1 2 是公理，還是定理？
隨便寫寫。先給出乙個 對任意的 定義 的後繼 然後給出 這樣，我們就可以把下面的這個集合 稱為自然數集 下面的這個 是 中已經存在的 那麼則可知這個集合 是唯一的。把 寫為平時的 並且定義裡面的元素 此時可證出 叫它數學歸納法。這個時候，我們希望在 上定義乙個運算，叫自然數加法，用 表示，即 要求滿...
分類公理 替換公理和萬有分類公理之間的區別是什麼？
其實你可以看一下中文版。說不定有助於理解，因為理解抽象邏輯肯定要有一些語義邏輯的經驗，中文的語義邏輯你肯定感覺更親切一些 香蕉真好吃 題主你要是實在看不懂，我推薦一位大神的部落格https christangdt.home.blog 裡面有陶哲軒實分析這本書每一節習題的答案，都是他本人證明出來的，相...
如何評價強權即公理？
強權只能成為一時的公理，終究不能長久，除非它能把反對的聲音全部排除。但其實，或許只要一條漏網的小魚就能導致權力翻覆。真正有效的權力應當順應乙個時代裡民眾的訴求，在此基礎上達到自己的目的也無可厚非，即便有反對的聲音，也能通過佔據天時 人和，順勢將其壓制。但如果權力自身的訴求出爾反爾，最終與民眾背離，暗...