1樓：何睿杰
兩個小圓無法覆蓋乙個大圓。可知兩個小的正n邊形無法覆蓋大的正n邊形。
兩個小圓無法覆蓋大圓：可以用三角形兩邊之差小於第三邊證明，始終存在大圓上存在一點，不被兩圓中任何乙個覆蓋。
2樓：拓唐
這題有個簡單一些的思路，我們只需證明
a)任意兩個小正三角形無法覆蓋乙個單位正三角形。
b)任意正n邊形可以在內部做出乙個正三角形。
如果ab都成立，那麼顯然推出
c)任意兩個小正n邊形無法覆蓋單位正n邊形。
因為c)的逆命題成立將導致ab矛盾。
3樓：
本人高中生，為防止被噴故匿名。易知小多邊形的中心不可能與大多邊形中心重合，也不可能在大多邊形外，設大多邊形端點到中心的距離為R，小多邊形為r，設大多邊形上去2點構成的最長線段長XR，則小多邊形為Xr2個小多邊形構成的圖案恆在乙個長為2Xr，寬為Xr的長方形內，而這個長方形總是框不住大多邊形。這是思路可能有所遺漏，請大家指正。
4樓：
亂答一下
當n趨近無窮大，那麼這個正n變形就無限接近圓，所以我們就以圓作為極限假設。
因此問題就變為了 - 是否能用2個小圓覆蓋1個大圓？
再次極端分析，如果這個覆蓋的定義是可以用各種微分之類的方式來拆分某乙個圓，那麼問題就變為了 - 2個小圓的面積是否等於1個大圓？
按照圓的公式推導 S = π x R^2，由於π是無限不迴圈小數，因此兩個R之間的換算係數無論怎麼推導一定也是某係數K乘以π所得的無限不迴圈小數。
所以這個折算關係是不存在的，也即面積不等，也即無法覆蓋。
5樓：
(a)一組對邊中的一條完全包含在A中，另一條完全不落在A中。
(b)一組對邊中的兩條邊都有一部分包含在A中，並且這兩部分都是線段，長度之和小於X的邊長1.前面已證明A覆蓋的大正n邊形的頂點和邊是挨著的，
其中a)的情況而言，k條邊連續被A覆蓋，則其最遠距離的頂點也包含在內，所以可以按n=2k+1的證法得知，此種情況會因為A自身不具有相距這麼大的兩個點而產生矛盾。
b)的情況：
如上圖，a1a2和a3a4為為A除了其餘完全覆蓋的邊以外，只各自覆蓋了半截的兩條相對的邊。
設大正n邊形的最遠距離點之間的距離為L1, 次遠距離點之間的距離為L2, A的最遠距離點之間的距離為L1『, 次遠距離點之間的距離為L2』,A的邊長為x,x小於大正n邊形的邊長。
a1a4的長度為L3, a2a3長度為L4,
則由a1a2和a3a4為相對的邊可知： L1>L1'>L3>L2>L2', L1>L1'>L4>L2>L2',
（如果L1'為若想要用乙個矩形S'覆蓋S，其放置S所傾斜的角度。
6樓：王箏
反設A不包含最遠點對。不妨設，那麼和都是最遠點對，根據反設，都不在A中。除去外，A還至少包含了3個頂點，而這3個頂點分布於中。
下面用抽屜原理，由於都是最遠點對，因此必然有一對完整地包含在A中，矛盾。因此claim成立。
n=2k的情況就比較複雜了。現在還沒想到乙個像上面那麼直白的證法。只考慮頂點肯定是不夠的，還要考慮邊的說。
類似上面的證明，可以知道，對於正2k邊形，A和B一定剛好各覆蓋了X的k個頂點，不妨假設X的各個頂點都位於A和B的內部（否則可以將A和B略微放大一點點）。
現在來看X的對邊。
Claim:對於X的每一組對邊，有且僅有以下兩種情況之一發生：
(a)一組對邊中的一條完全包含在A中，另一條完全不落在A中。
(b)一組對邊中的兩條邊都有一部分包含在A中，並且這兩部分都是線段，長度之和小於X的邊長1.
並且對於X的所有對邊組，(a)不會總成立.
舉個例子。比如正方形。
綠色邊就是(a)情形，藍色邊就是(b)情形。
還是類似上面，如果claim成立的話，那麼每一組對邊在A中的長度和小於等於1，並且"等於"當且僅當(a)成立，而(a)不會總成立，因此X的所有邊在A中的長度和嚴格小於X的所有邊的長度的一半。對B也是一樣的。這樣就構成了乙個矛盾。
下面證明claim.
首先，(a)不會總成立是顯然的，否則的話，A就會包含了X的k條邊，因此至少包含了k+1個頂點，這是矛盾的。其次，不會發生一組對邊都完全不在A中的情況，因為這樣就有一組相對頂點完全不在A中，這是矛盾的。
下面假設A包含了X的一組對邊的兩條邊的部分，由凸性，這兩部分都是線段。記X的相對頂點距離是，相對邊距離是，A的相對頂點距離是，相對邊距離是.那麼必有.
因此這一組對邊的兩條邊的部分在A中的樣子應該如下圖
圖有點抽象了，上下分別是正多邊形A的相對頂點和鄰近的對邊，和分別是正多邊形X的對邊被A所截得到的那一部分。圖中，，，.
下面要證明，.
也就是要證明這樣乙個引理：在正多邊形A中，若一對平行線段全部落在A中，並且距離滿足，則這一對平行線段長度之和小於A的邊長x.
將向下平移到處，並且將沿著邊平移相同的距離，這樣得到下圖
容易證明，此時，因此只需證明.
過向引垂線，垂足是，因此.也就是說，和乙個定圓相切.記此圓為.
由，可知與，都相交.過分別向作切線，記切點分別為.（每個點能向作兩條切線，但是一條已經做出來了，就是.
）稍微畫個圖，但是因為點太密集了，沒法把圖畫的很明白，大家腦補一下就好……
注意到和都是直角，考慮兩個直角三角形和，她們的斜邊是一樣長的，但是由於與相交，因此點略微靠上一些，也就是\angle BPD" eeimg="1"/>.
因此.同理，.
而在中，.
又由切線長定理，.因此.
也就是.
引理證畢.
從而claim成立，從而原命題成立。以上。
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