1樓：
在下面這篇回答中，我講了給定乙個有理函式 ，如何把它的不定積分的有理函式部分去掉，得到乙個分母無平方因子的有理函式：
判斷乙個積分是否為有理函式的條件
這樣我們就得到了乙個有理函式，滿足 沒有平方因子，並且 。如果對它在複數域中進行部分分式分解，就有 ，這樣 的乙個不定積分就是 。但是這個不好實現，因為一元五次以上的方程沒有一般根式解。
有時候，這就表明我們的確無法把不定積分表示出來，比如 。但另一些時候，即使我們表示不出分母的所有根，不定積分還是可以在乙個比包含分母所有根的域擴張更小的域中表示出來。乙個簡單的例子是 。
乙個更複雜的例子是
所以，我們現在的問題是，如何找乙個最小的域擴張，使得不定積分可以在這個域中（以初等函式）表示出來。注意到，乙個包含分母所有根的域一定是可以的，因為由洛必達法則，從部分分式分解 可推出 。
實際上我們根本不需要乙個有理函式 ，這個表示可以更簡單：因為 無平方因子，所以 。用擴充套件Euclid演算法可找到兩個多項式 使得 。
代入 ，可得 。這樣每個係數都是某個根的多項式。
下面假設 在 中不可約，其中。設域擴張 包括所有的 ，那麼對每個 都存在 使得 ，這樣就有 。所以，如果 不可約，那麼 的不定積分可以表示出來當且僅當 ，因為不定積分等於
。對於一般的 ，剛才我們已經找到了乙個多項式 使得 ；這些係數是多項式 的根。（顯然，如果要表示出 的不定積分，域中必須包含這些係數。
）這樣我們就有一種演算法：先在包含這個多項式的所有根的擴張 中把 因式分解成 （ ），再對這些因式進行部分分式分解，得到所有的係數： 。
實際上不用真的去計算部分分式分解，因為，所以可以直接得出 。
結論是如果可以找到 的所有根，就可以用上面的演算法計算出不定積分。否則（比如，你發現這多項式沒有根式解），就表示不出不定積分。
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