1樓：謝靈
看了眾多回覆，都屬事後孔明。
真有能耐，就去做出歌猜。
這些人盡是拿出了知道有結果的結論，再去套。當然必有因子：(xx+x+1).
這些人全是迴圈論證。
2樓：莫小小
法1.這個答案和其它答案所提到的"代入 "有異曲同工之妙,其實就是「正式化」了一下猜因式的過程.
本方法不適用於某些多項式,如.(自我吐槽:這個步驟簡直不能稱之為方法,沒人拿這個來分解因式)
首先我們引入有限域上的多項式環 (其實就是相當於對整個多項式進行 運算),如果它在上可約,則我們有機會找到它在一般情況下( )的因式分解.
根據"不同次數分解演算法"(distinct-degree factorization),我們只要計算:
其中 是為了計算出 次的因式的乘積.而這幾個公式又可以通過輾轉相除法來計算.
取 作試驗.
第乙個算式結果為 ,說明沒有一次因式.
第二個算式結果為 ,直接嘗試在 上試除(注意!需要試除的因式有這麼多!).發現乙個因式.
除完還剩下 .
又因為 ,
且它首一,所以 在 上不可約.
總之,用這種方法做出來是一件挺湊巧的事情.這種方法有可能會陷入 越來越大的死迴圈裡面.
法2.乙個特殊的性質.
對於所有係數都是1的三項式 ,它的所有形如 的根可以被收集成乙個有理係數的因子,其餘因子不可約.[1]
有了這個定理之後,原問題變成解 取虛部得出幾個可能解,再分別乙個乙個代入原方程得出所有在單位圓周上的解了,分別是 .由此得出 是它的乙個因子,順便還得出了另外除出來的那個因子不可約.
3樓：高志剛
我有個很簡單的解法，令 x=2 則上式=2**11+2**7+1=2177=7*311轉化回去就是結果，手機打字太累，看不懂的話聯絡我
4樓：夭莫尋雨
本人和其他答主的看法一樣：
其實可以注意到 為其乙個因子的，而這個過程也很自然以前做競賽題曾經做到乙個類似的：
求證： (3n→3n+1手機打字沒法打公式見諒)如果注意到這個，顯然可以輕鬆分解因式
畢竟對於複數，顯然
這道競賽題的具體證明過程並不複雜，我就不贅述了注意到這個因式之後多項式除法即可得到結果。
5樓：走地雞
整數係數多項式的分解是有演算法的，最原始的演算法稱為Kronecker方法：設整係數多項式 那麼對於整數 一定整除 在已知 的情況下, 是已知的，此時 只有有限種選擇。分別取 那麼 維向量必然在有限集合 內。
對 的每個元素，用待定係數法可以求出乙個不超過 次的多項式，在其中找到整除 的即可。
6樓：風盜
這個一般直覺就配湊出來了，簡單的因式除法多試試上面答案有提到二進位制的，其實原理是令x=2代入原式，得到2^11+2^7+1=2177=7*311= *311令x=3也是一樣的：
3^11+3^7+1=179335=5 **31 *89最後還要代入驗證一下，比如這種就分解不出x+1，雖然x=2的時候相等
所謂驗證其實是靠下面乘法的逆運算，分解不了的會多個餘數出來，這裡不具體展示了：
7樓：
用軟體解出來的背後的原理是 :乙個乙個地暴力嘗試,從而得到結果;採用牛頓插值的多項式因式分解演算法的設計與實現 採用牛頓插值的多項式因式分解演算法的設計與實現_愛學術
8樓：咕湫
考慮餘數定理，和那啥，代數基本定理。先帶入三次單位虛根w.
w的11次方＋w的7次方＋1＝0
於是有x-w和它的共軛因式都是原式因式。
這兩式相乘就是x+x＋1
然後配方一下
接下來還要證明另乙個因式在有理數集內不可約這個我不會。。
9樓：和田玉大百科
對於這種冷僻的數學問題，
應該不是先有問題後出答案的，因為類似這種問題有無窮多個啊（對於五次以上的一般多項式，已經證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。）
估計某神計算其他問題時的副產品，是無心插柳之作這種神答案我輩用笨辦法也許也能找出來幾個
aX^（n）+bX^（n-1）+cX^（n-2）+dX^（n-3）.......+xX^2+yX+z=F(X)*G(X)
程式設計，用窮舉法乙個乙個試吧
（可以把所有字母換成10以內的數字，如果哪套數字把等式成立了，就記錄下來針對性地重複驗證或者研究）
10樓：ChopinJan
用手機寫乙個思路正常計算量不大的方法。（事先明確一下，整數環上的因式分解並無一般性的方法，不過出題人會告訴我們用哪種方法。多刷題就會有感覺。）
若將原式在整環上分解，則每個因式的首項與末項係數都是±1。而 x±1 又顯然不是原式的因式，故可【猜想】想它有 x^2 + k x ±1 這種形式的因式。而原式在 x=-1 時為 -1，故其因式只能是 x^2 + x + 1 或 x^2 - x - 1。
此時可驗證前者是其因式。
（補充一下吧，若驗證結果說明它沒有二次因式，那麼這種方法就行不通了。）
11樓：
二進位制1000 1000 0001
就是十進位制的2177
非常容易看出來2177可以被7整除
7的二進位制就是0111
也就是x^2+x+1
12樓：
腦中沒有現成的定理, 觀察法也是可行的
x^11+x^7+1 若 x := 2 則 2048 + 128 + 1 = 2177 = 311 * 7
若是熟悉九九乘法表的話, 就能直接看出2177的質因數是7了, 看不出來的話分解一下也成
另兩因數 311 跟 7 可用來初步猜測兩因式的最高端差距比較大
整理下觀察到的現象
1. 先行分解成兩式的結果, 很可能是乙個某因式階數大, 另乙個因式階數很小, 從階數小的著手並先猜測其為簡單的二次方程, 不行的話再考慮更高次的
2. 因為原式 x^11+x^7+1 最高端(最低階)項係數為 1, 所以因式最高端(最低階)項係數也只能是1
據上述想法猜測: 當 x = 2 時, 某因式為 x^2 + b*x + 1 = 7, 求解得 b=1, 其中乙個因式是 x^2 + x + 1
使用多項式除法後, 證實 x^2 + x + 1 可以整除 x^11 + x^7 + 1, 並得到下面的另乙個因式
x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1, 此式的 x 帶進 2 會得到 311, 開根後小於20, 驗證20以下的數是否有質因數, 經驗證分解沒有 1 以外的因數, 所以只能是質因式
要是你老師非得要你用因式分解技巧解題, 那就用多項式乘法把
(x^2+x+1)*(x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)一步一步乘回去, 多項式演算順序顛倒過來就是因式分解了, 記得把其中幾個步驟合併以掩飾原來的實驗觀察法, 看起來更自然
13樓：靈劍
這就跟初中學習因式分解時候的基本方法是一樣的啊，比如說我們嘗試分解我們會發現1是這個多項式的根，所以就分解出乙個(x-1)，然後變成只不過到了更高階的階段，我們會去嘗試的根，除了簡單整數以外又多了一類：的複數根，它們可以寫成的形式，恰好有k個，而且剛好有：。我們可以簡單記
那麼回到問題，我們看到，它是三項的和，係數都是1，其中有一項階數是0，那麼我們自然會想到，再仔細一看，剛好，所以都是這個多項式的根，那麼我們就可以分解出乙個了。這個多項式也可以展開成實數形式也就是。約掉這個多項式剩下的部分就沒那麼容易分解了，不過看來大家也不分解。
14樓：鬱林成森
最早做這個題時，是注意到和，自然而然就想到了三次單位根，帶進去發現果然是解……然後用多項式除法除出來的.
其實潛意識裡想的是：任意實係數多項式必可分解為若干個實係數一次式和二次式之積
證明很簡單，記的實根是，復根是
這個東西是一直支援我試下去的精神支柱，雖然不一定可約但是依然很好啊。
然後就觀察觀察，就看到和了……
15樓：烏爾比諾
放到上考慮，上一次不可約多項式只有和，顯然都不是因式，二次不可約多項式只有，經檢驗是因式，然後繼續用三次不可約多項式（只有2個）嘗試，以此類推可得
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