1樓：L.CCC
大部分物理和工科中用到的張量其實是某個李群（最常見的是SO(3)，工科中的張量基本就這樣，物理常見的還有SU(2)，洛倫茲群等）的張量積表示空間的元素，並不完全是用線性空間及其對偶空間做張量積張出來的元素。
量子力學裡說的張量算符同樣是李群的表示，只不過把表示空間選做了算符空間，表示形式也有要求。
相對論裡說的張量是（黎曼）流形上的張量場。
2樓：abada張巨集兵
《什麼是張量？張量的本質和表象》https://zhuanlan /p/351883873
此文從直觀上理解。
數學抽象上說，因為乙個向量與它的對偶向量可以做標積，得到乙個數，於是，把這個特點做推廣：張量就是把它與它的對偶做標積，可以得到乙個數的東西。 比如什麼是二階協變張量？
它是這樣乙個東西，我們把它與乙個逆變向量運算，再與乙個逆變向量運算，可以得到乙個數。
數學中的抽象派和形象派可以像繪畫中的派別一樣互相攻擊。形象派攻擊抽象派的公理化，比如什麼是直線？明明畫一條直線就可以了，非要先不畫，而說直線是這樣的東西，它能通過A和B，而且只有乙個它能通過A和B。
又比如什麼是列向量？抽象派不給你寫，而說：是行向量到數的對映。
物理學家好比是企業家，工程師是實幹家，而數學家就是官僚，官僚檔案字字句句考究，生怕出錯丟了烏紗帽。務實的企業家哪有天天說話用法律語言或官腔的呢？
3樓：九局下半
個人理解：
有的物理量就是乙個數，稱為標量，
有的物理量除了數值還帶著乙個方向屬性，稱為向量，研究中發現還有一些物理量除了數值和方向之外還需要附加其他屬性，比如描述一點的應力的時候，除了應力大小，方向，還需要指定這個應力作用了那個面（作用於過同一點的不同面的應力是不一樣的）。可以想象，可能還會有需要指定3，4，...n 個屬性的物理量。
不可能一一分別命名。就統一叫做張量。
應力就是二階張量，向量就是一階張量，標量就是零階張量。
4樓：西塔實驗室
對映 ，大家都熟悉，這叫函式；
對映 ,是定義在若干線性空間 及其對偶空間 的笛卡爾積上的函式。
對 作乙個限制：任選這些笛卡爾積當中的乙個變數，固定其餘變數，函式 與該變數成線性關係，這時 被稱為張量。
所以說，張量就是乙個多重線性函式。
張量是幾何物件，不隨座標變化而變化；
張量是座標隨著座標變換而遵循一定變化規律的量；
張量是向量和餘向量通過張量積生成的東西；
張量是高階陣列。
以上四個不是張量的定義，但是是從某個側面反映了張量的特徵，以下逐一解釋：
箭頭是乙個歐式空間中的幾何物件，度量張量用來計算長度，曲率張量用來計算曲率，均可稱為幾何物件，但是採用數學語言，提煉出這些集合物件的共性，那就都是多重線性函式。箭頭可以看做定義在其對偶空間的線性函式，度量張量，曲率張量的定義域都是切空間的笛卡爾積；
在物理中，經常需要進行座標變換，向量切向量的座標會隨之改變，而張量作為乙個函式，其計算結果不應隨著座標系的變化而變化，所以就有了相應的變化規律，以抵消向量切向量的座標改變的影響；
兩個張量想要合成新的張量，要通過張量積來合成。合成後的張量的定義域擴大了，張量積保證了合成後的多重線性；張量積是張量的乘法，但張量的定義不需要通過張量積；
為了進行定量分析與計算，需要用陣列將張量表示出來，例如我們採用矩陣表示二次型，就是二階張量的表示，高階陣列就是相應的高階張量的表示。有了表示，才可以進行計算。
綜上，張量的定義是從眾多描述中提取出本質共性得來的，在實際運算中，需要用高階陣列進行表示，在座標變換下，需要滿足一定變化規律保證計算不隨座標變換改變。
5樓：萬國勃覽會
張量就是與乙個向量作用後會得到另乙個方向不同的向量，最容易理解的例子就是歐姆定律，輸入乙個電場後產生另乙個方向的電流，這時候我們就需要乙個張量來表示這個過程。
對應的情況是向量與向量點積是標量，比如做功。
我們熟知的歐姆定律是J=σE，但是有的導體它各向異性，也就是不同方向電導率不同，所以就不能用乙個標量來表示σ了，而是乙個由3x3矩陣和對應的並矢表示的張量。如果電場向量正好在該電導率張量的某個特徵向量方向上，那麼產生電流密度與電場同向，只是平行於不同特徵向量的輸入輸出比值不同。所以一般方向的電場沿著特徵向量的方向分解後，乘以不同的電導率，最終組成的電流密度向量就會和電場方向完全不一樣。
物理學還有幾個常見的張量像轉動慣量張量，力學量張量等等等等，理解起來乙個意思。
6樓：木乙己
在微分幾何裡，張量是對映，從向量空間和對偶向量空間到實數的對映，這一定義沒什麼物理意義，但是在數學上卻很精彩。
物理最初的定義，張量（僅指二維）是處理活動標架和固定座標系之間向量關係的量，描述向量的分量在另一組座標系下的分量。
也就是說，張量最初是為了處理力學中活動標架和固定座標系直接各向量分量的轉換引入的，但是後來在數學中又有很方便有趣的定義方式。
言而總之，張量是處理多維座標以及座標系轉換所必要引入的量
7樓：C.Jie
張量是線性空間的張量積裡的元素，這裡的線性空間可以是常見的R^n,C^n,也可以是它們的對偶空間，也可以考慮更廣義的交換環R上的模，量子力學裡描述粒子態的無限維復希爾伯特空間，它們都可以做張量積！
張量積之所以重要，而且在各個地方都有出現，這是因為它有乙個內蘊的範疇/函子結構，反映的是像下圖這樣的乙個泛性質(Universal property)
張量積就是要用這個泛性質把雙線性對映給線性化！
那這麼定義出來的東西有什麼用呢？
最簡單的，考慮物理定律，狹義相對論建立的兩個基本前提之一就是要求物理定律應該在所有的慣性系裡有相同的表達形式！也就是不能因為換了乙個座標，我的物理定律就變了，那這樣的東西，我們不認為它是乙個物理定律！
物理定律應該是不依賴座標的，那我們也應該相應地定義出這樣一系列的不依賴座標，在座標變換下表達形式不變的物理量！就像線性代數裡，矩陣不是本質，本質是這個矩陣後面的線性變換，同乙個線性變換在不同的基下面有不同的表達形式，這兩個矩陣(嚴謹一點，應該是方陣)是相似的！
而用泛性質定義出的張量積，也是不依賴座標的，正是我們需要的那個量！
8樓：LovePhysics
我也回答一下，盡量簡單一些。
我的感覺是，張量是個純數學定義對應了不同的物理實體，甚至是物理過程。
就好比說，我們實際上有杯子，用中文和英文，都是這個杯子的「分量」。杯子本質上就是那個東西。再比如說，摔碎杯子，這是乙個過程，用英文描述，用中文描述，形式差別很大，但表達的都是乙個東西。
以座標的形式定義張量，起碼算式給出了一種形式。雖然數值隨座標系不同，但形式是相同的。起碼做到了：不同座標系，形式相同。
另外，第一種定義方法裡面的，好處是只要知道任意兩個座標系之間的換算關係，就可以找到張量的正確形式，而不用去追究自然基向量——因為這常常是很困難的，比如說變形的時空，並不存在一種將當前測量得到的讀數到均勻直角座標系的對映關係。
9樓：溫尊
次日更新：補了點公式
代數的角度：一般考慮模的張量(tensor product)，兩個左R模的張量一般有兩種定義的方式。取 。
一種就是乙個特殊的universal property的乙個解，
這個的主要思想就是把bilinear轉換成linear的。
值得一提的是這樣定義的張量積是在同構意義下唯一的,只需要考慮交換圖
另一種是考慮二者的直積 ，設 是以 為基生成的自由Abel群，記 為如下元素組成：
然後定義 。
當然這兩種定義都可以推廣到多個模的張量，這幾乎是平凡的。不過 做成左R模範疇的乙個函子，也有很多不錯的性質（右正合），當然也可以定義平坦模（讓張量函子成正合函子的模）它還有乙個作用就是可以和Hom函子聯動，也就是二者對偶，之間有adjoint isomorphism：
幾何的角度：哦，還沒學流形和微分形式的後面一些的內容，下學期學了再補emm
唉，晚上兩點多睡不著看到了這個問題手癢了回答一下（
10樓：司洪亮
張量又叫幾何張量。顧名思意，張量是研究幾何問題的乙個量。指的是乙個幾何體或幾何空間外部向外延展的量，一般用線性代數表示為「線性空間」。張量就是這種空間的度量。
我自己的定義，且隨手寫的。請注意鑑別。
11樓：Trueman
在物理上，tensor原本指得是應力應變，屬於彈性力學的基本概念。tense就是緊張，張力的意思。
後來在數學上被推廣為流形上的餘切。因為所有餘切向量都有和應力應變相同的數學性質而已。
向量和張量都是物理對數學提供的概念。
12樓：
讀了兩天《高等線性代數學》by黎景輝，簡單談一下自己的看法（大一剛學輕噴qwq
（以下只談域F上的張量）
我們有兩個線性空間，這兩個線性空間之間有某種聯絡，我們希望用什麼東西來表達這種聯絡。而這種聯絡大多數時候可能需要用乙個雙線性對映來表達（這種聯絡的motivation可能是物理結構、幾何結構，但這方面我並沒有接觸，希望之後能有接觸）。
由上，我們製造了張量結構，創造了張量積過程，使得我們對兩個線性空間執行一次操作，就能獲得乙個「張量積」結構，使得我們關心的一切可以在這個張量積結構中良好的表達。我們選擇用線性空間作為這個新結構的載體，事實上似乎沒有其他選擇。
執行完這一操作之後，我們獲得了乙個新結構。（書中先給了張量積的定義，介紹了一些性質，之後才給了乙個對於任意兩個線性空間的張量積的構造，我感覺這與我的認知規律不負）之後我們需要一些技術性的結果，方便我們研究。在這裡我的乙個想法是：
有限維張量的矩陣表達。把兩個線性空間的元素排成矩陣的形式，我們獲得了張量的乙個好用而便捷的表達。在這裡，我們使用形式與矩陣乘法相同的方式獲得新的矩陣，同時利用trace函式實現對張量的呼叫。
事實上這樣並沒有跳出使用座標解決問題的思路。
13樓：yang
定義：張量就是多重線性對映。
張量看似有很多定義，但其他的定義實際上都不是本質，那些解釋都是其衍生出來的內容，必須先搞清楚張量的本質，然後再搞清楚張量的其他定義和它的本質定義是如何聯絡起來的。這樣才算是徹底地理解了張量。
下面簡單解釋一下：
乙個多重線性對映T就是從V和它的對偶空間V*的笛卡爾積 對映到乙個數 的這麼乙個線性對映。其中V是乙個向量空間，並且如果有n個V和m個V*，則稱張量T為(m,n)型張量。
乙個對偶空間V*就是乙個對於V的泛函，也就是說從V和V*裡面各抽出乙個元素，組合到一起就可以得到乙個數。根據這個定義可以得到V*其實也是乙個向量空間。
「因此可以簡單地把張量想象成乙個機器，這個機器分為上下兩部分，上面有m個槽，下面有n個槽，分別可以往裡面投入向量，並且上面只能投V*中的向量，下面只能投V中的向量。這個機器會輸出乙個數，這個數關於每個槽都是線性的。這樣乙個機器就是乙個(m,n)型張量。
」這是梁燦彬教授形象的解釋～
參考微分幾何入門與廣義相對論
矩陣和張量的關係
現在就可以理解為什麼矩陣是張量了，因為矩陣就是乙個線性變換啊，本質上就是乙個多重線性對映，但是為什麼不是把乙個向量對映到乙個數呢？畢竟張量是將線性空間和其對偶空間的元素對映到乙個數啊。
這是因為我們只給了乙個向量，只要再給乙個向量就可以得到乙個數了。
所以說張量的其他定義都是下面這個定義的推廣而已。
張量就是多重線性對映。建議閱讀：
yang：張量
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