1樓：
不同課程引入張量的目的不同
線性代數：線性空間的張量積
抽象代數/交換代數：交換環上模的張量積
群表示論：非交換環上的模的張量積
微分幾何：切空間/切叢的張量積，張量場，外代數，微分形式
2樓：幾度傾沉
如果你也在純數學書籍中遇到使用泛性質定義的 又感覺不知所云的話，那請配合你手中的抽象定義食用我這個回答吧。不過我無法上手純粹是因為英語能力非常不過關，導致無法在閱讀英文的同時進行內含的吸收。你大可以找本用英語說的很明白的書理解它，比如 Jean Gallier, Jocelyn Quaintance, Differential Geometry and Lie Groups
注：本回答使用的記號來自GTM129
我可能是少有的在表示論課程中接觸到張量的人，來這裡插個旗。
張量這個詞還是比較大名鼎鼎的，我們線代教材是藍以中，下冊最後一章就是多重線性代數，課上沒教。我以前自己看了一遍之後完全雲裡霧裡不知道在幹嘛，所以這不算接觸。
直到這兩天遭受129的毒打，長著一副「這些東西你們是熟知的，我寫個附錄給你看個大概回憶一下就來用」的樣子。而一上來就是泛性質的定義實在是讓人摸不著頭腦，讓我完全不知道他在贛什麼。
我迫切需要理解 這三個空間的內含及他們之間和與底空間的關係，而這實在是沒有專門的書籍來闡述。我回頭看藍以中，又找了幾本橫跨多個領域的書，比如115和275兩本微分幾何，31，130，42，255，還有在這個問題中 @sissi zhou
@Yuhang Liu 所提到的書。由於我實在是沒有學過交換代數，抽代只學了課內的群環域，加上對英文書的熟悉程度為0，我感覺自己沒有get到任何思想，只能說大概知道他們滿足了那個泛性質就被定義出來了，然後他們的基是什麼樣子。
這樣我肯定會滋生出我不行的情緒，雖然這有點太脆弱了，但是這時候我去求助chern佬總是沒錯的。他跟我說atiyah說的很明白
我們不再需要（2.12）中給出的張量積作為乙個具體的集合時的結構，讀者可以放心的忘掉它。重要的是在定義它時要求他具有的泛性質
然後我舉的例子：我不知道 是怎麼一回事，又包含了甚麼意義，chern佬立刻給出 。這很好，用這個例子體會一下之後我才發現我前面全都看了個寂寞。
chern佬說這就像開始學點集拓撲時完全對拓撲空間的意義沒有概念一樣，雖然我現在還是一知半解的。
不過在確定了這樣的觀點之後，借助一本清楚的教材梳理完整應該也不會很困難了。今天在 Jean Gallier, Jocelyn Quaintance, Differential Geometry and Lie Groups 裡對 的詮釋中又看到這樣的話
大意：張量積的具體結構是不必要的，重要的是它關於多線性對映具有的泛性質
大意：Sym^n 的具體結構是不必要的，重要的是它關於對稱多線性對映具有的泛性質
到這裡為止可以說解決了大部分我一開始的疑惑了。一開始看的很懵逼是因為我覺得我只知道這三個空間的基，可以由原空間的基得到，並滿足一定的性質，這種十足的黑箱感令人壓力山大，那麼我就應該盡量的去搞懂它們和它們之間的關係。如果我以後有了更多的收穫，我應該會繼續更新這個回答。
3樓：hillyuan
4樓：
張量在微分幾何，代數和模論，連續介質力學中會介紹。張量的歷史可能很複雜，但從英文tensor可以看出來，它最早是和彈性張力有關的，物理上也被叫做並向量。簡單的若把向量理解為乙個一次一元單項式，乙個齊次張量或齊次並向量就是乙個齊次單項式，當然和一般多項式相對的，就是非齊次張量。
在某種意義上，所有的經典物理量都是張量，比如溫度（0階張量，也叫數學標量），力，速度，動量（1階張量，也叫數學向量）。在連續介質力學中，一點處的壓強就是乙個張量（二階張量），一點處的彈性狀態也是乙個二階張量。在微分幾何中，曲率就是乙個四階張量。
從數學物理的角度，還可以理解為」量子多元函式「，見什麼是張量 (tensor)？ - 魯學星的回答 - 知乎 https://www.
從一些舊的張量，可以通過張量積 ，得到一些新的張量。張量積或並矢積就是張量的乘法。
在任何乙個張量範疇（monoidal category）中，都可以定義張量。某種意義上，所有的量都是張量。沒有張量積就沒有代數學！
作為一種結構，張量積可以用泛性質定義。
5樓：楓葉將故事染色
張量這個概念實際上是從連續介質力學裡面來的，張量本質上是一種線性對映，通常用來描述應力、應變和彈性係數。想要了解的話可以看看《Introduction to continuum mechanics》和黃克智的《張量分析》
6樓：Yuhang Liu
物理系或者工科的思維方式和數學真的不一樣，你們要理解，張量在數學這邊不是乙個帶很多指標的計算工具，而是乙個抽象的一般化的概念。對工程性應用來說，把所有的係數具體算出來，顯式公式寫出來非常重要；對數學來說，從原理層面理解概念之間的關係更加重要。
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乙隻叫柒海的鯊魚 非常贊同題幹中提到的一句話 別的系用來掛的課，數學系謂之刷分神器 關於這一點我可以分享一件有趣的親身經歷。我身邊的朋友都知道我是數學系的，所以每當他們遇到不解的數學問題時都會想起我。有一位朋友是土木專業的。他很聰明，但是畢竟數學不是他學習內容的核心，所以有一次遇到了一道雙變數的導數...
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