1樓：
矩陣乘積是復合運算，張量積就是張量積不是復合。復合運算和張量積運算滿足中間四交換律，就像加法和乘法滿足分配律一樣。關於中間四交換律，見Combinatorics and algebra of tensor calculus， arXiv:
1501.01790的附錄。
2樓：
張量積這種東西有很多種理解方式，在不同的語境下面會有不同的看法。但是如果拿來跟矩陣乘積比較的話，我覺得比較好的說法是，張量積是一種萬有乘積，而矩陣乘法是一種具體化。
我們現在手裡有很多矩陣，然後希望把兩個矩陣乘起來。一開始肯定想不到怎麼乘，但是可以猜一些乘積的最基本的性質，比如說要和數乘是匹配的，也要和加法匹配也就是分配律。不管這個乘積是什麼，都應當有這些基本的性質。
那麼這個時候張量積就出現了，他代表了最廣的乘積，也是最弱的乘積，就僅僅滿足上面說的那些基本性質。正因為是最弱的，所以一切具體的乘積都可以看成是從張量積的結果具體化得到的，也就是可以看成是萬有乘積，或者是乙個包絡的乘積。比如說像是矩陣乘法，或者還有別的例子，像矩陣的內積( =tr(B^TA)" eeimg="1"/>)或者李括號，都可以從這個抽象的張量積得到。
也正因為他包羅永珍，所以張量積的空間就非常的大，遠大於矩陣本身所在的空間了。把這些話嚴格寫出來其實就是樓上說的萬有性質。
那麼張量積究竟會得到什麼結果呢？有個經典笑話，問法中國人「4×20+10+9=?」，然後秒答：
「等於四乘二十加十加九。」這裡的情況差不多，兩個矩陣張量積的結果就是兩個矩陣的張量積，什麼都不是。因為這是一種最弱的乘積，反過來也幾乎不能體現矩陣的什麼性質。
通過前面說的具體的積，像內積、乘法、李括號，都能或多或少知道一點參與乘積的矩陣的資訊。但是張量積什麼都不能說。這只是兩個矩陣形式地乘起來而已。
3樓：qfzklm
張量積用來構造多重線性，而矩陣乘積是在多重線性中進行縮並，將多重線性中的重數降下去的。。
用分量來寫就很明白了，用愛因斯坦求和約定簡單寫一下。。
你認識矩陣乘積 ，向量的內積 ，以及矩陣和向量的乘法 ，於是你發現了共同點，有乙個相同指標在經過求和之後就看不見了。。
如果你只是把兩個量放在一起，不求和，只是構造多重線性的話，你就發現了張量積，比如向量 ，於是你構造了乙個矩陣，也就是二階張量。。類似的，對於矩陣當然也可以， ，這裡你就構造了乙個四階張量。。
4樓：趙明毅
太長不看版本
矩陣的乘法是「復合」運算。（f（g（x））的這個復合）
張量積是普通乘積模掉「雙線性等價」這個等價關係。
抽象廢話版本
我們知道：
所有n維向量構成乙個模，設為M，
Hom(M,M`)也是乙個模，並且在M=M`時是乙個環， 這裡的乘法就是（fg）（x）=f（g(x)）。
所以矩陣乘法在這個意義上，就是Hom（M,M）這個環裡面的乘法（當然，這裡的這個環其實就是 ），下記為A。
那麼什麼是張量積呢？
對於乙個A×B（直積,直積就是簡單的放在一起……）到C的對映f，我們說這個對映是雙線性的，當且僅當
f（a+a`,b）=f(a,b)+f(a`,b)
f（a,b+b`）=f(a,b)+f(a,b`)
f（ra,b）=rf(a,b)
f（a,rb）=rf(a,b)
(就是對A和B分別線性的意思，這裡a,a`∈A，b,b`∈B，r∈R（R不一定是實數，當然這裡是實數）)
那麼對於任何A×B到C的雙線性對映f，存在唯一乙個模同態 滿足
這裡i(a,b)=ab就是張量積了
（這個f怎麼打到箭頭上啊？？？）
（流下了不會使用LaTeX的淚水.jpg）
乙個具體的張量積的構造方法是用A×B模掉ker f。
即V/K,其中V是A×B,K是由V中
（a+a`,b）-(a,b)-(a`,b)
（a,b+b`）-(a,b)-(a,b`)
（ra,b）-r(a,b)
（a,rb）-r(a,b)
這4個元素生成的子模（形式上差不多，就是等號變成減號，然後去掉f）
（哦對了，以上的R都是交換環…………更一般的我還不懂……）
相同點……沒有相同點，因為矩陣A×B是乙個模（環也是模）裡面的事情，而張量積是把2個模變成乙個模的過程。
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