線性代數是做什麼而發展出來的？

1樓：

唉反對上面所有答案。如果你是問數學史的話，你可以參閱古今數學思想。

很不幸，線性代數有好幾個頭，線性方程組求解是乙個，一開始真的就是解方程，真的就是行列式運算。行列式最早至少在15世紀就有人研究，萊布尼茨就研究過三階行列式。19世紀以來行列式理論有了進一步的進展，比如柯西證明了行列式乘法定理，其實就是矩陣乘法。

所以請不要說線代和解方程組沒關係，也不早說線代的核心是向量空間，線性方程組求解不重要。實際上這是乙個問題的一體兩面，比如線性方程組的解其實是個仿射子空間，就是定義域線性空間的子空間再加乙個偏移量。用線性方程組的眼光看線性代數是完全等價的。

向量空間的表示和運算也是乙個。最早搞向量的傢伙們都是哲學家和物理學家，和我們說的線性代數差的太遠。我們想說的是向量空間，維數，投影，子空間，線性無關這些。

那麼，第乙個構造這個體系的傢伙是格拉斯曼。然而這貨觀念太超前，數學基礎太差，活著的日子裡都被當民科了，雖然解決了萊布尼茨的問題拿了獎，但是又被莫比烏斯批評。於是他最後成了乙個歷史語言學家。

他去世10年之後，他的核心思想被克萊因，嘉當，皮亞諾以及他們的追隨者進行系統性的發展和推廣。

我只是多年前讀過古今數學思想，依稀記得幾個名字，這個答案幾乎照抄維基百科詞條。於是我下面開始要批評人了。

我尊重每個人自由表達和批評的權利，也請被批評的各位承擔自己自由表達被批評的責任。

不了解問題就不要回答，回答不清楚就寫好不清楚，回答問題之前動動手指搜尋一下資料，不會浪費幾分鐘生命，請不要肆意妄言坑害讀者。

說哈密頓那個不全對，他主要在弄超複數，和格拉斯曼外代數合在一起，發展到後面是Clliford Algebra。

扯什麼量子力學泛函分析的，請不要張口就萊，格拉斯曼這東西2023年就發表了。。

其他講什麼線代應用，還有對課本做總結的，大家心裡都知道跑題跑到姥姥家了，我就不批評了。

2樓：

量子力學。線性代數中的列矩陣其實是高維空間中的向量（希爾伯特空間），對應波函式。線性代數中的方塊矩陣其實是在高維空間中對向量的拉伸和扭轉操作，對應力學量（算符）。

線性代數中的特徵值方程就是量子力學中的本證方程，每乙個特徵值就是一種可能的測量值（比如氫原子的能級），每乙個特徵向量，就是一種可能的波函式（氫原子的軌道波函式）。

至於波函式是乙個函式，為什麼可以寫成一組向量，想一想傅利葉級數，其實那個向量的各個分量就是傅利葉級數中的疊加係數。

綜上，線性代數是算符代數的幾何化。

3樓：宇文沁

以下觀點主要來自北京大學丘維聲教授的書《高等代數》，這本也是我學的時候參考過的書本。

有觀點認為，矩陣的概念是從求解線性方程組來的。在經典代數學中，求解線性方程組是最核心的內容之一。

解線性方程組最早的手段就是加減消元法和代入消元法。隨後人們發現，求解的過程中，未知數的字母僅僅作為符號的作用，對於解沒有太大意義，於是就把等號左邊的係數按順序記錄為一張數表，這就是矩陣。自然的，等號右邊的一列常數項，記為一列向量。

在增廣矩陣上進行加減消元法的過程，就是初等行變換。為了有一套標準的方法以便於最後代入，人們希望把矩陣化為行階梯形矩陣。這一求解方法就是著名的高斯消元法。

人們把常數項全為零的方程組稱為齊次線性方程組，反之則稱為非齊次線性方程組。

而且將方程組稍微變形我們就發現，其實矩陣每一列是乙個向量，求解的過程相當於求如何用這些向量表示常數項。於是人們提出了向量組。在向量組中，有些向量可以用其它向量線性表出，有些則不行。

這一現象我們稱為線性相關與線性無關。我們自然會想到，這些向量中，最少幾個向量就可以表示向量組中所有的向量。這就是向量組的極大線性無關組。

而極大線性無關組的向量個數，被稱為向量組的秩。

憑經驗人們發現，行變換的過程中有時會出現矩陣一整行都是零的情況。於是人們想提出乙個概念，可以表示這個矩陣到底可以有幾行「有價值」的資訊，這就是矩陣的秩。

隨著解的方程越來越多，人們發現不是所有的方程組都有解。有解的方程組也不一定有唯一解，有些甚至有無窮多解。人們於是自然開始研究線性方程組有解或有唯一解的充要條件。

想要回答這個問題，我們有必要研究這些解的結構。

作為相對簡單的情況，齊次方程組最早被研究。無窮多解的情況還有乙個現象，那就是，零向量一定是解，兩組解的合差也是一組解，一組解乘以某一常數也是一組解。於是自然地想到了線性空間。

這就是線性代數開頭的思路，這條線還可以一直往後，隨著學習的深入，會觸及越來越多的知識點。