1樓：莫小小
想到乙個有線代背景的中學數學題.
假設 且
, 其中 是 的復共軛. 證明 .
記 . 它是酉矩陣因為
所以 .證畢.
2樓：劉醉白
我的第一反應和前面那位同學一樣，是用矩陣方法求線性遞推數列的通項公式，這個方法是我在一本高等代數書上看到的，書上的例子的斐波那契數列 ：
這個數列顯然是線性遞推數列，寫成線性方程組的形式：
然後寫成矩陣形式，把原來的線性遞推公式轉化成向量形式的遞推公式：
那麼根據遞推公式：
在矩陣可以相似對角化的情況下，求矩陣的冪可以考慮相似化成為乙個對角矩陣然後求冪的辦法。
矩陣 的特徵多項式是 ，
特徵值是 ，
計算時我們會用到：
矩陣 相似對角化後，可以得到：
所以得到 ：
，所以斐波那契數列的通項公式是 ：
注：我們發現矩陣的特徵多項式與數列的特徵方程的一致性，從矩陣方法的推導過程我們可以得出數列的通項是特徵值的冪的線性組合。
事實上，矩陣方法適用於下面兩種型別的線性遞推數列。要求係數矩陣可以對角化。
在係數矩陣可以對角化的情況下，第一種按照斐波那契數列的方法做即可，
第二種是跟第一種類似，只是向量不同，
，寫成矩陣形式：
，所以，
在係數可以相似對角化的時候後面的做法就與前面如出一轍。
如果不能相似對角化，比如 ，把矩陣拆成數量矩陣和冪零矩陣的和，那麼
注：此處也發現係數矩陣可以對角化的時候，通項公式是兩個特徵值的冪的線性組合。
說乙個涉及到解析幾何的吧，不算是題目，高中經常遇到乙個函式，我們老師叫它對號函式，它的形式比較常見的是如下這種
0" eeimg="1"/>，現在我們從數學上確定它的形狀，整理一下這個式子，
,我們考察一下二次型
，它的特徵值是 ,
取正交矩陣 ,那麼
,所以二次型
在正交變換 的作用下化為標準型
做正交變換P在平面直角座標系裡相當於求曲線繞原點逆時針旋轉 後得到的曲線方程，所以對 繞原點逆時針旋轉 後，
得到 ，這是一條雙曲線，方程是標準形式，
焦點在y軸上，是 ,漸近線是 和 ，
旋轉保持形狀不變，說明對號函式本身是一條雙曲線，
焦點在直線 上，是 ，漸近線是 和 y軸。
其實根據二次曲線不變數很容易判斷這條曲線的形狀，對於非數學系的同學可能對此不那麼熟悉，同樣地， 也是雙曲線。
回歸我們初中學習過的反比例函式 ，初中說它的影象是雙曲線，現在來看反比例函式也確實是雙曲線，它的焦點在直線 上，x軸和y軸是它的兩條漸近線。
3樓：Henry Yang
有！舉乙個高中數學競賽的例子。
2023年4月的Crux Mathematicorum雜誌中有這樣的乙個問題.
已知整數 實數 滿足
且求證：
在2023年4月雜誌中給出了乙個運用Cauchy-Binet公式推論的解法.（當然還用了矩陣和行列式）
用到的推論是——
設 是 階實矩陣, 則行列式 其中 為矩陣 的轉置.
解法如下：
證明構造矩陣
簡單計算可知
不難算得 結合 則證畢！
（運用範圍有點窄，而且題幹看起來有背景……）
其他回答中，用外積（即向量叉乘）求法向量的方法挺不錯的. 那介紹乙個求空間三角形面積的公式：
當然也可以求四面體體積：
順便一提，當題目要求二面角的平面角的余弦值時，正確地用外積求法向量，可以保證不搞錯正負性.
(上面寫錯字了，已更正)
好像偏題了，我高等代數沒學過外積啊，我是在解析幾何裡學的呀……
4樓：Caption Hasterd
說乙個簡單的。
高中學了空間向量，求平面的法向量，然而方法是設出來和平面裡的兩條不平行向量點乘為0，列方程組。
後來我了解到有乙個向量叉乘，其結果直接是法向量。公式：
乙個平面的法向量可以有兩個方向相反的向量，叉乘得到的是哪乙個呢？如果是左手座標系，把兩向量尾尾相連，左手螺旋，4指按叉乘方向旋轉過它們的夾角（比如如果是 就從 轉到 ），拇指指向的方向就是得到的向量的方向；右手座標系就用右手螺旋。
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