1樓：
1、先拋開non-trivial manifold就說平直三維空間，向量、張量場構成 群的表示空間。
簡單來說乙個向量 在 的作用下變換 ， 就是Euler角給出的三維旋轉矩陣。事實上向量表示是 群的基礎表示。
根據定義，n階張量場是n個向量直積向標量的對映。因為標量是群的平庸表示，為抵消 的變換，n階張量場在 作用下是直積表示。（如果熟悉相對論力學的話，這就相當於協變和逆變向量內積洛倫茲不變。
）然後直積表示可以分解為更小的不可約表示（irreps）。
**用到 是因為 群還有乙個旋量表示（spinor rep），這個表示其實是乙個更大的群 的線性表示（此群叫做的double cover，因為它們之間是二對一的關係）。而恰巧存在同構 ，所以會用到這個群。另外旋量表示通過Pauli矩陣可以包含向量表示，因此旋量表示也是 唯一的基礎表示，用 表示也足夠生成所有表示。
2、而量子力學是在Hilbert space上給出這些群的unitary representation。
具體一點就是說在量子力學中，給定群元 在Hilbert space中的unitary rep ，向量算符的變換規律為 。可以看出他們攜帶的是同樣的資訊，只是因為量子力學概率理解的需要，Hilbert space構成的unitary rep更加自然。而向量算符相當於unitary rep和 這個linear rep之間的intertwiner。
這一結論在高階一點的量子力學知識時都會提到，一般還會提及Wigner-Eckart定理之類的內容。
3、考慮non-trivial manifold的時候，把這個問題通過纖維叢（fiber bundle）推廣。
略過詳細的數學理論，簡單來說給定流形 ，流形每個點上都附帶乙個「纖維」 ，並且纖維之間由乙個群變換 關聯起來。其中，主叢（principle bundle）的纖維結構是 本身。我們考慮 為乙個李群的情況，其表示空間可以構成另乙個纖維叢叫做伴叢（associated vector bundle），這裡的纖維結構就是表示的向量空間 。
廣義相對論是乙個廣義座標不變的理論，對應時空每個點上做局域座標變換 ，也就是乙個主叢叫做frame bundle。而可以證明它的纖維可以叢 縮小成 ；而它的表示空間是切向量，構成的伴叢是tangent bundle 。而 的截面就是所謂的向量場了。
同樣可以推廣構建張量叢。
由於不是搞數學的，而且為了簡潔；描述上多少有許多不準確之處。請參考資料或者問數學學者。
微分幾何、纖維叢部分參考 Geometry and Topology for Physicists（Nash & Sen）第七章或者Geometry, Topology and Physics（Nakahara）第七章和第九章。群表示論的書隨便找物理方面群論的書都會提及，比如Lie Algebras in Particle Physics（Georgi）。量子力學參考Modern Quantum Mechanics（Sakurai）。
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