1樓：
作為乙個知乎日經問題，0.9999...到底是不是1其實早有許多大佬答主們給出了詳盡的回答。
我們再贅述這些就顯得過於無聊，因此我們可以換個更加有趣的角度：我們看看假如真的0.999...
不等於1了之後會發生什麼。先下結論：如果0.
9999...不等於1，那麼實數集（作為拓撲空間）將會變成康托爾集（在同胚意義下）。所以你這麼看的話0.
999...不等於1就明顯不靠譜，因為它會讓實數變的支離破碎，不符合我們對實數是一條連續的線的直覺。
而且，鮮為人所知的是數學上還真有乙個域，它裡面有無限小數定義的序結構，並且裡面類似0.9999...的東西就是不等於1，而且它還真的作為拓撲空間同胚於康托爾集，這個域就是p-adic域Qp，某種意義上它就是滿足我們上面腦洞大開的假設的乙個活生生的例子，因此通過觀察它的很多奇妙而反常的現象也可以更加加深我們對0.
9999...一定等於1的相信。
先挖個坑，有空再來細說。
2樓：徐生
數學家中，有人將1和0.99...定義為相等，或者證明成相等，有的人定義為不等，或者證明成不等，
這些都對，各有各的道理。橫看成嶺側成峰，遠近高低皆不同。張三說廬山是嶺，李四說是峰。
站在張三的視角來看，張三對。站在李四的視角來看，李四對。站在上帝視角來看，人類全錯了。
站在張三李四的視角來看，廬山是嶺且是峰。其實，1和0.99...相等，當且僅當1和0.99...不等。
既然數學上兩個不同的數字1和0.999...是相等的，既然相等怎麼會不同是不是有悖論？
3樓：無心
定量計算時，可以看做相等。因為不管定義再小的數，有限時間內，這兩者的差都必然會小於指定數。對任何計算來說，就表示誤差一定小到可以忽略。
定性分析時，他們不相等。明顯任何情況下，他們都有差可以計算。
現在有部分學過極限的「專家」說他們相等。不妨問一句：0+,0,0-相等麼？
4樓：皓墨
好吧，我不知道，我在微博上給過乙個回答，我以為微博人均學歷不如知乎，沒想到這裡也出現這個了。
如何評價？如何評價1=1嗎？這還真是奇怪，難道要我說體現了等號是乙個等價關係，而等價關係具有反身性？
不過不管如何，我們先來說說為什麼0.999…=1吧。
首先要說的是,雖然網路上有許多非常簡明的證明,但那些證明往往有混淆迴圈小數定義的嫌疑.想要讓沒有任何初等數論基礎的學生完成這個證明實際上並不容易.我們需要先學習一下定義.
首先,什麼是小數?我們知道任何乙個正整數N可以被十進位制表示為:
Σai10^i的形式其中i跑遍0,…,[lgN
為了滿足唯一性要求,我們常常規定ai∈[0,…,9],並特別規定a[lgN]≠0(注意到N≧1，因此這規定是合適的).在這兩個規定下,容易證明任何乙個正整數的十進位制表示是惟一的(只需要用到第二數學歸納法以及少量等比數列知識).
現在我們不妨把眼光放長遠些,利用減法的定義,以及最小的(非零)自然數是1這一事實,我們發覺任何兩個不同的整數的差的絕對值皆會≧1,或者說整數具有離散型.出於更精準的描述一些更加稠密些的數字的需要,例如除法的需要,整數顯然是不夠的,於是我們決定引入小數.
藉由指數函式的若干基本性質,我們很容易想到只要將(＊)式中i的下界取得更低就可以引入更稠密的數字.
考慮任乙個實區間(0,1)上的數x,我們將(＊)式中i的上界改為-1,並使它等於x,我們可證明這錶法的存在性(因為兩種表法的差值可以有小數點後的位，不受到至少是1的限制，故這時沒有惟一性了),只要令ai=[10^(-i)x](mod 10)就可以了.
為方便起見,現在開始我們將(純)小數寫為0.a1a2a3…的形式.這裡做了個簡單的變數替換,現在我們有
ai=[x10^i](mod 10).
注意到對一些特別的x(例如1/625=0.0016),存在i0(該例中最小的i0為5)當i≧i0時,ai總為0,於是當i≧i0時,ai的數值對於我們總是沒有意義的.鑑於此,我們只需要寫出a1～ai0的數值就能完全確定x的數值,我們將這樣的x稱為有限小數.
並且這時表法的唯一性易證.
相對的,定義x為無限小數,如若對任意正整數j,都存在k>j,使得ak≠0.不難證明證明有限小數與無限小數劃分了(0,1).
並在此基礎上定義無限迴圈小數:如果對於乙個無限小數x=0.a1a2a3…an…,能找出兩個非負整數s,t使得對任意的正整數i和非負整數k,都有a(s+i)=a(s+kt+i)成立，那麼我們就稱x為(無限)迴圈小數.
特別地,如果這樣的t是所有滿足條件的t中最小的乙個(此處不需要規定s最小),那麼我們稱a(s+1),a(s+2),…a(s+t)為迴圈節,t為迴圈節的長度.如果最小的s=0,那麼稱x為純迴圈小數,否則稱x為混迴圈小數.
並可隨之引入帶小數(這裡不給出存在性的證明了，可類似證明)bm…b1b0.a1a2….的定義.
這裡給出0.99…=1的證明:
先證明兩個引理,
引理①:bm…b1b0.a1a2…=bm…b1b0+0.a1a2…
證明:利用求和號性質,易證.
引理②:bm…b1b0.a1a2…=10bm…b1.b0a1a2…
證明:一一比較求和序列,顯然.
回到原題:
由引理①,有9.99…=9+0.99…,
由引理②,有9.99…=100.99…,
由此得9=100.99…-0.99…
=100.99…-10.99…
=(10-1)0.99…
=90.99….
顯然9≠0,結合1的定義,知0.99…=1.＃
這個證明過程是我寫的，我站在民科的肩膀上想了想，有一點不大讓我滿意，就是關於小數的定義時，存在性證明時出現的問題。問題在於，為什麼乙個數可表為乙個小數？
雖然我給出了具體的表法，但本質上我預設了x=Σ10^i在i跑遍一切整數時是成立的，雖然我知道它們的差在i的下界越來越小時有明確的極限0，由定義它們相等（如下圖），但怎麼向沒有知識基礎的人解釋就比較頭痛了。
關於一些疑問：
A：我們證明中從來沒有規定過0.99…小數點後有幾個9這種問題，它只是乙個無窮序列所規定的數字，對於有迴圈節T的純迴圈序列，將所有項向後移動T位，並將前T項補足後兩序列相等，這是由定義及歸納公理易證的。
在我們的問題裡意味著序列移一位後得到的{9,9,9,…在除第一項後完全一樣。【詳見無限迴圈定義部分及引理②部分】
A：對於有限小數該點成立，對無限小數則不然。對於無限小數，我們已經說過：
因為兩種表法的差值可以有小數點後的位，不受到至少是1的限制，故這時沒有惟一性了
你當然可以規定乙個新的序讓1>0.99…，但這時性質糟糕的一批而且與許多現有理論相悖，我建議連古典數學的前提是什麼都不知道的朋友洗洗睡，近代數學的前提迷迷糊糊的朋友不要輕易嘗試，否則，矛盾總比定義多」。
5樓：
我們數分老師講的是：0.9999...
並不是乙個傳統意義上的數，而是一種極限化的表達。它實際上是lim(1-0.1^n)（原諒我還不會LaTeX）。
也就是說，所謂剩下的0.000...01中，1所在的位數並不是任何乙個自然數，因為每乙個給定的自然數都是有限的。
無窮是一種理想化、形式化、模型化的表達，並不存在於實際，因而所謂「1在第無窮位上」的說法是毫無意義的。
6樓：謝靈
複製幽靈的原結構，再按邏輯改為：
很有意思的問題。
先補充一點歷史知識：
1）早在大約2023年前的古希臘時期就已經出現了分數的概念；
2）2023年，德國數學家古拉維斯首次使用小數。
也就是說，在數學史早期，使用分數才是主流的（甚至是唯一的）選擇。
設計小數其實是為了簡化運算，結合整數部分的十進位制，採用了以10的整數冪為分母的分數之和的形式來替代原有的分數（類似於古埃及將一般分數轉化為單位分數的操作）。
也就是說小數其實是一系列特殊分數的加和，比如3.14表示3+1*1/10+4*1/100；
上面僅僅對有限小數才能化為分數。因為分數為有限元素，有限小數也是有限元素。
而對於無限元素，由於無限（無窮）的定義與數矛盾，比如0.333……則表示3*1/10+3*1/100+……+3*1/（10^n）（n→+∞）。很顯然，該無窮級數沒有和，也就不等於1/3。
類似的，可以說明0.999……不等於1。
原因：你們引入了無限（無窮）這個新概念，無限（無窮）元素它是數嗎？
你必須給數進行定義，給無限（無窮）定義。
有限（有窮）的定義：從第乙個元素能到達最後乙個元素，符號：a...p
無限（無窮）的定義：從第乙個元素，沒有最後乙個元素，符號：a...
顯然無限（無窮）是完不成的，也不能參入無窮之外的行為，也沒之和。
證明：任取數學體系中乙個元素k
對於無限（無窮）元素 a...
不能滿足：k（f）a...=1，因為有最後乙個元素「=」或「1」，與無限定義矛盾。
不能滿足：k（f）a...＞1，因為有最後乙個元素「＞」或「1」，與無限定義矛盾。
不能滿足：k（f）a...＜1，因為有最後乙個元素「＜」或「1」，與無限定義矛盾。
上三步證明了無限元素不能與任何數學元素有1 關係。
證明了無限元素沒數學意義，它就是非數。
所以人類一經使用無限概念，你就只能孤獨的永遠的無限，
不能停下來（沒最後乙個元素），當然不能參入數學行為。
無限的意義：孤立的存在。
所以 0.999...不能停下來去算於1，只能老老實的......
7樓：
數學上，在給定的公理和定義下，用邏輯自然而然推導出來的結論。
你一旦接受了這種設定，那結論則是必然的。
給定的定義不同，可能推導出不同的結論。
那數學現在這套定義是如何確定的呢？因為發現如此定義是有用的。為什麼有用？因為他們真能解決實際問題。
8樓：Yue Liao
什麼是無限小數？定義為乙個數列的極限。
對於0.999...來說，就有以下數列：
a1=0.9, A2=0.99, a3=0.999, ...
0.999...=lim a(n)，n趨向正無窮。
1-0.999...=1-lim a(n) = lim (1-a(n))=lim (1/10^n).
這個極限是0，覺得不嚴謹就拿極限的定義算一下唄。
數學是形式邏輯，按著形式走就是了。
如何評價09自走棋？
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一大只貓 在前面如此精彩的非日常之後，這麼日常的一話卻反而顯得不尋常了。大概是讓我覺得，涼宮的故事似乎也就在我的身邊。不過，這似乎也是一種在虛擬世界裡尋求現實感的行為。完美銜接消失。如果這樣結束大概會是乙個回味無窮的留白式結尾，但是加上消失又是完美的一話過渡。 SS CTEX 強答。這個問題居然被我...