1樓：非月
就從平方根來說唄。
小學：平方根是啥？
中學：平方根號裡面的數不能為負數。
大學：同學，你聽說過複數麼？
然後從空間來說唄。
小學中學：來來了歐式空間了解一下，兩條平行線永遠都不可能在一起喲。
大學：來來了，把上面那兩條平行線扔進來射影平面中，你看，他們相交了！
當然還有什麼《抽象代數》之類的……老師上課應該都會有這麼一句話：現在，請不要把這個加號認為是加法，乘號認為是乘法。
2樓：Steven Wang
我小學的時候，無論老師教的，課本上寫的，還是習題冊裡的，都是9.99999....（無限迴圈小數）< 10（其實當時我想過 9.
999999...... = 3.3333333....
*3 = 10/3 * 3 = 10的問題，不過當時以為是第乙個等號不成立，沒細想）
大學之後知道
9.99999..... = 10
（確切地說，lim (n->inf) (sum(i=0 to n)(9 * 10^(-i))) = 10）
3樓：不減肥成功不改名
就 @cmy28 推廣一下。公理還有乙個新的意思，幫助「選擇」滿足條件的數學結構。比如說群公理，乙個集合 G 及其上的二元操作要滿足封閉性、結合律、存在單位元、存在逆。
這裡的公理，不再是乙個傳統印象裡不可證明的東西，而是指定某一類數學結構的性質，類似 set comprehension。因此該結構的具體物件自動滿足這些公理，也就無需證明了。
比如說歐氏幾何的那幾條公理，我們也可以找到一些數學物件不滿足之，憑此也就有了非歐幾何。
4樓：cmy28
大家的答案都變成了「有哪些數學概念在不同階段會被逐漸推廣定義」。題主問的是「不同」。至於越高深越廣泛，似乎不能算「不同」吧。
我來說乙個我覺得「不同」的。當初給幼小的我（啊不，是剛剛長大的我）留下深刻印象。
「公理」是什麼？
初中：公理是符合經驗的無法證明的真命題。兩點決定一直線。。。三點決定一平面。。。是吧。
事實上，公理是，不經過證明，真實性被假設成立，作為其他一切演繹的起點，的命題。
「經驗」是什麼，可以吃嗎？
5樓：克小面
函式，可能大家都忘記了吧，或者沒學過，我來補充下吧。
初中是用一一對應來定義的，x有唯一對應的y就叫函式，高中給了集合的概念以後用對映來定義，到了大學，在拓撲裡我們用關係來定義。
6樓：Kaifu
說個比較簡單的：三角函式
初中的課本是用直角三角形定義三角函式的。
高中的課本首先定義了弧度制，然後引入了有向線段的概念，在單位圓裡重新定義了三角函式。
到了大學後，就能分析地定義三角函式了。
定義的方式不盡相同，比如：
1.用積分來定義
2.用復函式來定義
此外，幾乎所有在高中用幾何去定義的概念（比如向量、導數等等）在大學都被重新定義了。
7樓：
乙個就是正交性了，原來以為只有向量才有正交性，正交就是垂直，但是後來你會發現連函式都有正交性了，已經不能把正交性簡單地等同於垂直了。
當然，如果把函式也當成一種向量的話，這也不算什麼改變了.....
空間、向量、內積、正交性，這些東西到了大學之後感覺都有了全新的定義。
有哪些物理概念在高中教錯了？
錯的概念還談不上吧，最多有一些用特殊條件證一般結論或者一些不嚴謹的說法或者是各種理想條件 老師為了讓大多數學生能夠理解也很不容易啊 高中時總是抱怨課本編的太爛，現在回過頭來看看也沒看出有多大毛病如果你覺得高中課本編得不好，可以自己買大學的教材來看，當然不保證正確。出卷老師出的題目有時會有點問題，但課...
數學裡有哪些原始概念？
meaic 其實有興趣你可以去看一看離散數學 或者邏輯學 事實上數學裡的原始概念就是定義以及和定義一起產生的公理 公理和定義是一體，是自洽的。我們按照感覺和經驗給出公理或者定義的同時就限制了另一者。通常我們把歐幾里得系統，戴德金系統作為某一領域的公理系統 每個公理系統都有邏輯公理系統的參與 可以說數...
初高中階段學習部分不完整的物理有什麼意義？
學知堂教育 如果有接觸過物理學史，一定知道人類對自然萬物的認識也是層層遞進，在16世紀之前的漫長的歲月中，人們一直都認為地球是宇宙的中心。直到哥白尼之後人們才有了地球繞太陽這個認識，從哥白尼這個時間點看亞里斯多德時代，就和我們現在看哥白尼時代一樣，日心說就一定正確嗎？我們對宇宙的認識一定全面了嗎？我...