1樓：魔法少女蔡徐倫
好像還沒有回答給出 的（不涉及其它無理數的）無窮級數展開……我來乙個吧：
雖然看著唬人但是每一項都是有理數：
收斂很慢的樣子，我爬了……
2樓：德川遙巖
寧也沒說有效數字啊。
如果有效數字要求少，而且pi可以知道的話（能背前面幾位），那這個問題就等價於如何徒手開根號。這個就有很多前人的方法了，且比較簡單。
但如果寧要高階的…這個等大佬走一波
3樓：絕零之冰
有。思路先計算 的值（題主要精確幾位自己算吧），然後接下來用近似值計算
一種比較快的計算方法
計算 收斂更快的是Ramanujan的方法：
上式計算一位就能得到7位有效數字。證明甚為繁瑣，這裡按下不表。
反正切的展開
首先要知道冪級數。
當然這個方法很慢，很慢。它是乙個萊布尼茨級數。但是它看起來最舒服。
我們都知道
用 代替
便能得到
兩邊同時積分，得到
1）由得 令 代入（1）式
便得到驗證
由交錯級數與萊布尼茨定理，其餘項 。上面收斂得特別慢。計算628項精確到3.14。
反正弦的展開
通過 ,展開如下：
它收斂更快，僅3項便可計算出3.14，9項便可以精確8位有效數字，題主可以嘗試一下。
計算根號
同樣還是級數的方法。
二項展開式的證明這裡按下不表。這裡只介紹內容。
二項展開式
這裡將 帶入,得到所需公式如下。
這裡 並不能取 (近似值），而是要先乘上2，然後在根號內乘上 。
其他方法
用一下Wallis公式。
對這一公式的證明採用對 在 [0,]上的積分完成。證明按下不表。
不過這個公式對 的近似計算沒有直接影響，倒是在匯出Stirling公式中起到了重要作用。
總結上述級數用來計算 適合計算機。但是題主若有像納皮爾一樣極大的耐性與毅力，不妨手算一下。
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