1樓：Poki
直覺上怎麼理解，其他帖子都寫得很清楚了，我這裡過一下數學上的Technical detail
首先，憑什麼說「希爾伯特變換把所有頻率分量相位變90度」
這句話暗示了希爾伯特變換和傅利葉變換是有關係的，但具體呢？（定理1）
覺得有點嚇人的話記住結論（這就是為啥書上往往只給結論）就好：希爾伯特變換是乙個濾波器，大小上：全頻率是1（但在頻率為0這乙個點上是0） （相當於完美過濾了DC部分）
相位上：正頻率都是負90度，負頻率都是正90度
(L2 的條件不理解可以忽略，本身也不是必要條件，只是充分條件，但離了這個條件，數學推導會absurdly 難L2 的意思是這個訊號的總能量不是無限大的，但sin，cos這些明顯不符合。為什麼他們還可以用這些定理呢，這就涉及到distribution theory了。但是我們可以考慮乙個擷取的有限長的sin，cos。
這樣就繞過了這個問題)
很簡單和值得記住的乙個定理，據說是60年代美國空軍乙個專案下的科研結果
對於乙個調製訊號（高頻的載波訊號和低頻的資訊訊號相乘），對其做希爾伯特變換，低頻的訊號可以和常數一樣提到外面
2樓：阿珺
恰好最近在看這方面的東西，以下為我的理解，有不對之處還請大家指出！
首先，要講乙個概念，就是非平穩訊號，在參考文獻中指出頻率不隨時間變化的訊號成為平穩訊號，在這個回答中我們認為非平穩訊號就是指頻率隨時間變化的訊號，所以在對非平穩訊號進行分析時，求解瞬時頻率（這個很重要哦）是必要的過程，就像乙個平穩訊號可以用傅利葉變換來進行頻譜分析一樣，可以讓我們了解乙個訊號的頻率成分。
由上面的鋪墊，我們知道了對非平穩訊號進行分析時，求瞬時頻率是很重要的。那麼如何求解瞬時頻率呢？Ville給出的定義為：
對於訊號
瞬時頻率
這些與希爾伯特變換又有什麼關係呢？樓主別急，且聽我接著說。我們知道，實訊號的幅頻響應是偶對稱的，這時求出的訊號的平均頻率將為0，而平均頻率是瞬時頻率的加權積分（這裡不理解的話我一會在下面放個公式，可以先跳過），平均頻率為0也必然導致瞬時頻率為0，顯然這是不正確的。
實際上，我們只關心0到∞的頻率就可以（因為偶對稱），這樣說來有沒有一種方法可以讓我們只分析正頻率，當然有的，就是將實訊號轉化復訊號。
吼吼吼，希爾伯特變換要出場啦，Gabor提出了將實訊號轉化為復訊號的方法，給出公式
對於訊號
轉化為復訊號
公式中x(t）上面帶了乙個小三角的那個就是x(t)的希爾伯特變換啦，這樣我們能夠得到訊號的相位φ（t）和幅度a(t),對相位求導即可以得到瞬時頻率啦，so各位小主聽明白了嗎：）
參考文獻
胡廣舒.現代訊號處理教程第二版.P398-P404
注：上面有談到平均頻率是瞬時頻率的加權，我把公式寫在這裡，如果有同學需要證明的話，我再敲出來。
E是訊號能量。
3樓：王贇 Maigo
希爾伯特變換的物理意義十分簡單：把訊號的所有頻率分量的相位推遲90度。
也就是說，如果原訊號可以表示成，
則經過希爾伯特變換後的訊號為。
這一點通過希爾伯特變換的頻域形式很容易看出來：
，其中 0 \\
0, & \omega = 0 \\
\text = \text ^ \pi/2}, & \omega < 0
\end \right." eeimg="1"/>
當然，我知道題主最感興趣的是：把相位推遲90度有什麼用？
答案是：希爾伯特變換可以用來做解調器，調幅、調頻都能解。
如圖，藍色是乙個調製訊號，其幅度、頻率都經過了調製。
綠色是藍色訊號的希爾伯特變換。由於調製波的幅度和瞬時頻率變化都很慢（與載波頻率相比），其頻率成分比較單一（都集中在載波頻率附近），所以希爾伯特變換的效果——相位推遲90度——是很明顯的。
現在構造訊號，我們想辦法把這個訊號在三維空間中畫出來。
下面這張圖中有三個軸：時間軸、實軸、虛軸。
時間軸和實軸構成的平面上畫出了（藍色），
時間軸和虛軸構成的平面上畫出了（綠色），
三維空間中畫出了（紅色）。
可以看出，的樣子就像一根粗細、疏密都在變化的彈簧。
在任意乙個時刻，我們都可以讀出的瞬時幅度和瞬時相位：
瞬時幅度為，瞬時相位的正切值為。
而瞬時相位對時間的導數就是瞬時頻率。
這樣，我們就利用希爾伯特變換從乙個幅度、頻率均被調製的調製波中把幅度、頻率都解調了出來。
當然，實際的解調器中並不是這麼做的，乙個重要的原因就是希爾伯特變換不是因果的，不能實時解調。
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