1樓：蘇爾
這是《概率導論》中的描述
但這裡是有問題的，如果端點在圓內均勻分布，對於例子A，C點往上那一部分包含的點顯然更多，對於例子B，中間60°的那一部分包含的點也更多，所以概率都不正確。
貝特朗悖論說到底是因為沒有說明樣本空間是如何分布的，不同的假設導致不同的結果，從而產生了悖論。
2樓：班斌
貝特朗奇論，是在用幾何方法確定概率時出現的乙個奇特現象，歸根結底是樣本空間的不同．
用幾何方法確定概率的話，首先就涉及到測度問題：當測度方法的維度n_i不同，描述同乙個自然事件S的樣本空間也就不同——有的是一維樣本空間，有的是高維空間，比如面積．即便都是一維空間也不一定是相同的樣本空間，因為空間不是無限的！而「等可能性假定」的不同使樣本空間取到不同的位置，最終，導致同一事件A的概率P(A)的計算結果的不同．比如以下三個一維樣本空間的假定都是合理的：
假定圓的弦的中點在直徑上等可能取點；
假定圓的弦的一端固定，另一端點在圓周上等可能取點；
假定圓的弦的中點在圓內等可能取點．
但分別在這三個假定下計算得到的以下事件概率不同：
那在一圓內任意取一條弦，問：其長度超過圓內接等邊三角形的邊長的概率是多少？
數形結合，在以上三個假定下計算得到的結果分別為：
1／2．
1／3．
1／4．
都是對的．只不過同乙個自然事件用不同的測度方式去測度得到了不同的樣本空間．
後記：確定概率的頻率方法、古典方法（列舉）和主觀方法（貝葉斯方法），顯然，不會有類似的貝特朗奇論．
參考文獻
［1］茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數理統計教程（第二版）.高等教育出版社. p28-29.
3樓：馬同學
和所有的數學分支類似，概率論的也是經歷了從直覺到嚴格的過程。其中的乙個轉折點就是貝特朗悖論。
1 古典派
古典派也就是高中時候學的概率論。它的核心哲學思想是：不充分理由原則。
1.1 不充分理由原則
雅各布·伯努利（1654－1705）：
提出，如果因為無知，使得我們沒有辦法判斷哪乙個結果會比另外乙個結果更容易出現，那麼應該給予它們相同的概率。比如：
硬幣：由於不清楚硬幣哪一面更容易出現，那麼應該給予正面、反面相同的概率，即為
骰子：我們不清楚骰子哪一面更容易出現，那麼應該給予每一面相同的概率，即為
此稱為不充分理由原則（Insufficient Reason Principle）。
1.2 古典概率
以不充分理由原則為基礎，經由皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵（1749－1827）：
之手，確立了古典概率的定義，即：
整個19世紀的人們都廣泛接受這個定義，並發展出了一系列的定義和定理。
2 貝特朗悖論
法國數學家貝特朗（也翻譯為「伯特蘭」）於2023年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到了這個悖論：
原始的悖論比較複雜，下面我們給出乙個等價的形式。
2.1 鋸木廠的木頭
問：有一家鋸木廠，它會把木頭切成不同的木方，木方的截面都是正方形，邊長會在尺之間隨機浮動：
那麼根據古典概率，該鋸木廠生產出來的正方形邊長在尺之間的概率為多少？
解：根據不充分理由原則，因為不知道哪一種邊長更容易出現，那麼就應該給予它們相同的概率，也就是說之間每一種長度都是等可能的。而包含了一半的可能長度：
所以，正方形邊長在尺之間的概率為：
2.2 悖論的產生
剛才的問題還可以轉為面積來解答，尺邊長的正方形面積為平方尺，尺邊長的正方形面積為平方尺：
同樣，根據不充分理由原則，平方尺之間的正方面面積是等可能的，那麼正方形面積在平方尺之間的概率為：
選擇對「長度」還是對「面積」運用不充分理由原則，同乙個問題會得到了不同的概率：
那麼哪個是對的？
3 現代概率論
3.1 反思
19世紀不少人相信只要找到適當的等概率，就可以得到問題的唯一解。直到貝特朗悖論出現，人們才開始反思古典概率中的不合理之處：「等概率」的描述實在是太模糊了，存在歧義。
在後來數學家的不斷努力中，概率論變得越來越嚴謹，大學中學習的公理化的現代概率論就是集大成者。
下面用現代的概率論重新來審視貝特朗悖論，你會發現其實根本沒有矛盾之處。
3.2 重解貝特朗悖論
問：有一家鋸木廠，它會把木頭切成不同的木方，木方的截面都是正方形，邊長會在尺之間隨機浮動：
也就是說木方的邊長是乙個隨機變數，符合均勻分布（均勻分布就是等概率的意思）：
那麼：（1）該鋸木廠生產出來的正方形邊長在尺之間的概率為多少（其中）？
（2）它的面積又符合什麼分布呢？
解：（1）記的累積分布函式為，其概率密度函式為，因為，所以：
那麼要求的正方形邊長在尺之間的概率為：
（2）假設的累積分布函式為，其概率密度函式為。先來求：
將對求導就得到了概率密度函式，也就是得到了的分布：
（1）（2）兩個問題回答下來，可見邊長符合均勻分布時，面積並不符合均勻分布。
4 總結
貝特朗悖論產生的原因在於，古典概率中的「等概率」非常模糊：
邊長的分布是未知的，所以是等概率的
面積的分布是未知的，所以是等概率的
進而匯出了矛盾。現代概率論通過分布來描述邊長的隨機性後，這種模糊性消失了，貝特朗悖論中的矛盾也就不存在的。
同學們還可以試試假設面積符合均勻分布，試求一下邊長符合什麼分布。
4樓：夏偉航
很簡單。
因為當時沒有概率空間，沒有分布函式這些概念，出現這種悖論也是很正常的。
話說，所有的公理化體系的出現很大程度上就是數學概念的含混不清導致的悖論而催生的。
回到悖論本身。用現代一點的觀點去看這個問題的話，就是所定義的隨機變數的分布不同而已。用古典的觀點不太準確地說，等可能假設不同。
5樓：黑羽
就是有3個箱子，箱1裡面兩個金條 ；箱2裡面兩個銀條；箱3裡面一金一銀。
然後呢，你隨便選乙個箱子然後從裡面裡拿乙個出來，如果你拿出來的是金條，那麼請問你再從這個箱子裡拿出金條的概率是多少呢？
answer：下意識人們都會說1/2，因為有金條的箱子有兩個，再拿的話要麼金要麼銀所以1/2。
其實不然，本人不是數學專業所以用自己的理解解釋一下：
認為1/2的原因是因為如果第一次拿出金條，說明我們殺掉了箱2的可能、然後箱1、2二選一。
但是第一次拿出金條殺掉的可能性不只有箱2還有箱3的1/2的可能性。所以說答案是2/3。
表達能力有限，將就看，不過只要高中畢業，看到題不需要我解釋，自己想一下就明白了
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