1樓：李三畏
若將題中的「現實」定義為某一論域U，將邏輯定義為對映規則f，那麼公理系統S在U內是自洽的，即S與環境U因滿足規則f而彼此相符：
f: U→S
當且僅當論域發生改變時，才有可能出現公理系統S與環境相衝突，即當規則f不變時，若｜U｜＞｜U｜，則有：
f(U) ≠ f(U)
例如，當論域為自然數集N*時，Peano公理P可視為乙個對映f:N*→P，此時P既與環境N*相符，也與既往經驗相符，還與邏輯規則f相符。可一旦將N*擴充套件至有理數集Q，則該公理顯然就不再與環境Q相符了，即：
f(Q) ≠ f(N*)
上式表徵，需要構建不同於P的公理系統才能有效定義新論域內的概念並基於該定義進行有效推理。
2樓：ZRZRZR
至少從現在來看是符合的。
歷史上有過不符合的時代。「萬物皆數」（指有理數）算乙個公理，歐氏幾何也是公理。這時候，我們發現了矛盾。
考慮線段OA=1。過O作線段OB⊥OA使得OB=1。根據基於歐氏幾何的勾股定理，可以推導出AB=√2。
此時就出現問題了：√2並非有理數。也就是說，射線AB與OB沒有交點。這和「兩不平行直線必有交點」這條公理相矛盾了。
公理出現矛盾就要修改。
公理越底層，通常就越穩固，現行的ZFC公理，你很難找出漏洞了。
如果你真的憑藉嚴謹的推理，而不是臆造的一些「常識」類的得不到證明的偽定理，得到了ZFc上的矛盾，那你就是和羅素一樣偉大的數學家。但我勸你別嘗試。
數學上能否指出某個公理體系中符合哪些條件的真命題是可以證明的，符合哪些條件的命題是 真而不可證 的？
自學生 我發現了，5份對角和7份對邊方格6 6半徑圓周 自然規律和人為規則1對兩性定律 5 1和7 1 正中平衡時間6 6 36 兩性矛盾各讓一步 自然統一平衡時間標準真理定律模型。 第乙個問題 從某種意義上來說可以，因為在乙個形式系統中，可以應用的證明規則是有限的，所有可以被證明的命題是re的，那...
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yuyu 粗略地說，實數的公理就是實數是乙個有序域滿足Dedekind完備公理公理.實數 存在乙個集合，叫做實數集，定義了兩個二元運算，叫作加法和乘法，以及乙個全序關係 滿足下面的性質 代數性質 是乙個域。代數和序的性質 對於，如果，那麼。如果並且，那麼。Dedekind完備公理 的每個非空有上界的...
請問在乙個公理體系中，給定乙個指定命題，有沒有通法判斷該命題在體系內是可以證明，證偽或者不可判斷的？
free POC 滿足一致性的 即不存在矛盾的 命題系統可以簡單分為兩類 完全的和不完全的。比如 命題演算系統就是完全的，所以，凡是真的合式公式，在命題演算系統中就是 可證 的，凡是假的合式公式，在系統中的否命題就是可證的。而包含了皮亞諾算術系統的邏輯系統就是不可完全的 細節請去看哥德爾不完全性定理...