1樓：
這裡將一致性理解為句法意義上的。即，系統本身不會推演出形如 的命題，或者，在有乙個邏輯常元 用來表示矛盾的語言中，不會推出 。
數學家不總能保證乙個數學系統的一致性。有些基本的一致性結果（如集合論和算術中？）只有類似於「如果 A 系統是一致的，那麼 B 系統也是一致的」的強度。
公理系統的一致性有些情況下可以通過語義獲得。通過將可滿足性這個語義性質和一致性繫結在一起，自然地就能得到一致性。（當然更常見的語義性質是有效性，這是乙個和可滿足性對偶的概念，後者要求的是存在乙個模型使得公式得到滿足，前者要求的是在所有模型上公式都能得到滿足，所以這裡需要在概念上周旋一下）
公理系統本身的一致性有些時候也可以直接證明。比如說對於具有良好性質（cut elimination）的 sequent calculus 來說，一致性的證明是顯然的：
當然這都是現代的做法了，過去的話其實我也不清楚，感覺歷史上很長一段時間數學家們都是靠嘗試？
如果乙個頂級的數學家剛開始的時候沒有選擇數學而選擇物理，那麼他會是乙個頂級的物理學家嗎？
自成居士 這個問題似是而非。首先這完全是二個不同的行當，數學與物理不是乙個範疇。按照學科劃分，物理 化學 生物等，叫做科學。而數學不叫科學。這可以從中國招生目錄看出來。因此你說的數學家不當數學家，反而跑去當物理學家，本身就說不通。除非萬不得已，另起爐灶。數學是基礎性學科，轉向物理一般問題不大。然而誠...
怎麼判斷乙個人是否適合做數學家？
昂藏 數學是屬於年輕人的遊戲。數學家一般在職業生涯的早期就獲得了世人的高度評價。注意，早期的意思，一般是35歲以下。你看看天才伽羅瓦十幾歲就開始做研究了，20歲臨死前的乙個晚上就完成了群論的手稿。26歲的阿貝爾就發現了阿貝爾函式。同樣26歲的愛因斯坦已經發現了著名的e mc 2。陶哲軒在25歲生日前...
數學家一般是怎麼判斷乙個定理的證明過程是否正確的？
現在計算機有Coq跟Agda之類的互動定理證明器可以幫忙驗證https coq.inria.fr 雖然不少定理的證明過程達數百頁,但其中用到的公設跟推理規則,都大概只有幾頁就可以描述完,只需要確認Coq程式本身的推理規則沒錯,公設沒錯,其餘過程都可以交由電腦驗證 若是有一大類結構相似的引理,甚至也可...