1樓：
非數學專業，我就不用嚴謹的數學語言來解答了，輕噴。
這個問題我疑惑過也思考過，其實想明白了就很簡單了。
問題並不複雜，但可能高中數學在講這些的時候沒有說透，有點一股腦的都塞進來的感覺，再加上對數的概念理解起來不夠直觀，一直沒消化好。
但是乘方、開方、指數運算、對數運算，（冪運算）
所以總共包含三種運算，即已知a和b求c，已知b和c求a，已知a和c求b。
可以分別寫作a^b=c、b√c=a、loga (c)=b。
那麼問題來了，如何理解這三種運算之間的關係？互為逆運算嗎？
好像又沒那麼簡單。
「乘方、開方、指數運算、對數運算」是四種運算，它們與這三種運算又是怎麼對應的？
還是從頭慢慢捋。
把對數放一邊，先說乘方和開方。
即——a^b=c是原運算，那麼b√c=a是逆運算。
因為在這一對運算中，b（指數）是已知數，
根據函式的思維，把a和c（或者反過來）替換成自變數x和因變數y，
得到y=x^b，y=b√x這樣一對反函式。
在此得到結論——乘方和開方是一對逆運算（在指數確定時）。
後來我們還知道，由於b√x=x^(1/b)，所以乘方和開方其實可以寫成統一的形式，
就好像加法也可以寫成減法的形式，
所以乘方和開方本質上是一回事，所以又把它們統一叫做冪運算。
再說指數運算和對數運算。
仍然——a^b=c是原運算，loga (c)=b是逆運算。
因為在這一對運算中，a（底數）是已知數，
根據函式的思維，把b和c（或者反過來）替換成自變數x和因變數y，
得到y=a^x，y=loga(x)這樣一對反函式。
在此得到結論——指數運算和對數運算是一對逆運算（在底數確定時）。
上面的結論想必大多數人都明白，但問題是如何把這幾種運算統一起來理解。
比如同樣是根據a和b求c，
以a為自變數，b為已知數的運算叫做乘方運算（冪運算），
以a為已知數，b為自變數的運算叫做指數運算，
在數值計算的時候這兩者是一回事，但是從函式的角度卻是完全不同的兩種運算，
因而也導致了在不同的情況下對應不同的逆運算。
最後還剩下一種，若是c（真數、冪）確定，根據b和c求a的開方運算（冪運算），與a和c求b的對數運算，也是逆運算嗎？
好像很少看到對於這一對運算的聯絡，不過也不重要了，因為已經把開方和乘方都統一成了冪運算。
2樓：冰水一杯
先說結論：我們所提及的各種常見運算（加減乘除，乘開方，指數對數等）指的是一種「規則」而不是「結果」，開方和對數運算是兩種不同的運算，這兩種運算不是相等的，沒有重複定義。
我打算從運算的定義開始逐次引入基本概念來逐步回答題主提到的疑惑：
[問題1]這六個式子中，他們的運算規則和運算結果有現存定義嗎?如果有分別叫什麼?如果存在逆運算，則他們的逆運算是如何對應?
[問題2]常說的(冪、指數、乘方、開方、對數)具體是指什麼?是屬於運算規則還是運算結果?如果是運算結果，其對應的運算規則是什麼?
如果是運算規則，其對應的運算結果是什麼?定義1
一元運算是乙個集合 上的函式 ，該函式將集合 上的某個元素 對應到另乙個元素 ，即 ， 被定義為為函式，運算子或者「運算規則」， 被定義為輸入， 被定義為輸出或者「運算結果」，如果存在逆函式（反函式） 使得 ，那麼 被稱之為 的「逆運算」。 被定義為逆運算的輸入， 被定義為逆運算的輸出。根據逆函式的性質，可得 ，即函式 是恒等函式（形如 的函式），記為 或者 ，反之亦然。
二元運算是乙個集合 上的函式 ，該函式將集合 上的某兩個元素 組成的有序對對應到第三個元素 ，即 ， 被定義為輸入， 被定義為輸出。一般來講二元運算通常把運算子放在中綴而不是字首，如 。如果有序對 或 均滿足 ，即對於所有的 ，都有 ，則稱該二元運算是可交換的，即滿足交換律。
如果上述一元運算中集合 ，那麼該一元運算具有封閉性——輸入元素的集合 包含所有輸出的元素 ，即對於所有的 ，均有 。二元運算同理。
兩個一元運算 和 相等當且僅當 和 並且對於所有的 ，若 ，則對於所有的 ，均有 。二元運算同理。
例如題主提到的六個式子：
y=a^x ；y=x^a；y=a√x；y=x√a；y=loga(x)；y=logx(a)
根據定義1，其中 是常量， 是變數（輸入）， 是關於 的函式的輸出（運算結果），所以當用 表示函式時不需要向運算子（運算規則）一樣表明變數如 是因為這兩個符號 和 所表達的數學含義完全不同。 題主對「運算規則」和「運算結果」的理解癥結主要在這裡——不同數學符號表達的含義。若用 重寫表示式，則上述六個式子分別被改寫為：
； ；； ；定義2
若 是常量， 是變數（輸入），則在關於 在複數上一些運算被定義為
關於 的乘方運算：
關於 的指數運算：
關於 的開方運算：
關於 的對數運算：
根據定義1和2，發現
因為從 推出運算結果 ； 並且有
同理，因為從 推出運算結果 。所以
乘方運算與開方運算滿足形式 ，推出 ，即開方運算 是乘方運算 的逆運算 。
同理，指數運算與對數運算滿足形式 ，推出 ，即對數運算 是指數運算 的逆運算 。
在上述六種函式中，我們還發現函式 和 可以通過定義2被改寫為：
，反之。與上述發現類似，函式 與函式 也互為逆運算。
定義3
冪運算是乙個封閉的二元運算 滿足對於某些 ，有 。
根據定義3，發現乘方運算和指數運算都是關於二元冪運算的乙個限制，區別在於強調三個量中的 誰是常量，誰是變數。在乘方運算中， 是變數， 是常量，即限制 ，使得對於某個 ，有 。同理，在指數運算中， 是變數， 是常量，即限制 ，使得對於某個 ，有 。
通過檢驗，根據定義1，發現某些有序對 或 ，使得 ，即 ，冪運算不滿足交換律。所以若 ，乘方運算 不等於指數運算 ，即 。與此相對的逆函式也不相等，所以開方運算不等於對數運算。
3樓：
先依次回答各個問題
建議自行翻閱實分析相關書籍
對數是運算而非數
在 中加法 是根據 求 的雙目運算而非僅由 求 的單目運算是運算而非式子
建議自行翻閱實分析相關書籍
所有的定義都是人為的
冪指數乘方開方對數並不違和
冪指數乘方開方對數是運算而非運算結果
二目運算有兩逆運算是顯然的
較為確切的說法是滿足交換律的二目運算有兩相同的逆運算二目運算 當且僅當
沒有根本性錯誤但缺乏多目運算的眼光
當然將 看作二目運算 與 結合或單目運算 與 結合均可行綜上運算的學習需要對映的眼光
特殊的多目運算和多元函式是向量到數集的對映類似左右逆元對於 目運算
感謝 @TTTTTT 的指正
稱 為 的左逆運算即對 左值求逆的運算
稱 為 的右逆運算即對 右值求逆的運算
取 則取 則
事實上對於 目運算顯然有 種相應逆運算
基於幾個符合交換律的運算的逆運算便想當然以為逆運算惟一的思維是形上學的
為什麼非冪指函式不能用對數求導？
九Nidhogg 我個人傾向於認為之所以在冪指函式中使用對數求導法，是因為這一方法能夠讓冪指函式的復合結構變得清晰可拆解，進而能夠套用初等函式求導法則，因此在大部分情況下是比較好的選擇。如同樓上王溪之所展示的，也並非其它函式不能使用，這只是一種求導方法，只不過它更適合用於冪指函式求導。舉個例子，比如...
指數函式與對數函式的極限形式怎麼得到的
阿呆毛男 首先e這個數本身就是人為規定的，最開始發現它就是通過 1 1 n n的極限，然後規定這個極限的數值為e。就像規定圓周率一樣，剛開始是算出周長與半徑正比例關係，面積與半徑平方正比例關係，由此求出乙個固定的值並規定為圓周率。所以與其說e x是通過右面的式子求出來的，不如說是一種規定e lim ...
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hhh，這好像是乙個初中生提的問題，直接上Baby Rudin可能不太友好。我盡量簡單地總結一下Rudin的思路，完成有理數指數冪運算法則的證明 實際上不需要用到Rudin習題1.6那麼多，只要用到第二問就可以了 我錯了哈哈哈，Rudin如此經典不是沒有道理，我不太可能做得比它好。不過我可以幫題主梳...