1樓：
hhh，這好像是乙個初中生提的問題，直接上Baby Rudin可能不太友好。
我盡量簡單地總結一下Rudin的思路，完成有理數指數冪運算法則的證明（實際上不需要用到Rudin習題1.6那麼多，只要用到第二問就可以了）。
我錯了哈哈哈，Rudin如此經典不是沒有道理，我不太可能做得比它好。不過我可以幫題主梳理一下證明的思路，要不然題主應該是看不下去這個證明的。
證明步驟如下：
我們假設現在冪運算的指數還只能是整數，那麼為了證明分數指數冪的運算法則，首先需要定義它。我們對於乙個實數 0" eeimg="1"/>和整數 0" eeimg="1"/>，定義 ，其中 0" eeimg="1"/>且 .
看起來很好，這個定義是由整數指數冪得到的。不過我們還要證明它是良定義的，也就是說，只能存在也必須存在乙個實數 ，使得 . 這也就是Rudin中的定理1.21
定理1.21對於每個實數 0" eeimg="1"/>及每個整數 0" eeimg="1"/>，有且僅有乙個實數 0" eeimg="1"/>使得 .
這個定理有乙個推論
推論如果a和b是正實數，而n是正整數，則 同乙個有理數 可以表達成不同的分數 和 .如果用這兩個分數算出來的分數指數冪的結果不一樣，那麼這個分數指數冪是沒有意義的。因此要證明如下命題
設 1" eeimg="1"/>， 是整數，且 0,q>0,r = \frac = \frac" eeimg="1"/>，證明
這樣分數指數冪就有意義了，就可以定義有理數冪。
有了這些基礎就很容易完成最後的分數指數冪運算法則的證明了。
（所以我寫了一堆沒用的，假期到底是有多閒啊……）
如果要看懂Rudin的證明的話，至少要有一點集合的知識。並不難，如果想看的話可以去找一本Rudin《數學分析原理》，俗稱Baby Rudin，pdf版不難找。
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