怎麼通俗的解釋高中換元思想

1樓：佐鼬

換元用得好蠻有用的。乙個中學階段比較實用的技巧。

說白了就是用乙個字母去表示乙個整體，這樣既可以簡化問題，又可以用這個字母來表示那個整體的各個部分。比方說一些複雜的因式分解，換元可以減少多項式項數,降低多項式結構複雜程度。然後，解一些方程，高次方程都可以用到。

有好多種，分母代換、整體代換、倒數代換、三角代換、增量代換、比例代換，常數代換等等。

換元後記得還元。

二元方程先看一波：(x+5)+(y-4)=8

x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可寫為

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以雖然這波大可不必這樣，完全可以兩方程一加來解決，但是換元也不失為一種解題的方法。那麼來看看下面的。換元就是提供一種新的解題方法。

在分解(x+x+1)(x+x+2)-12時，可以令y=x+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y+2-12=y+3y-10=(y+5)(y-2)=(x+x+5)(x+x-2)=(x+x+5)(x+2)(x-1)．

換元就是一種簡化問題的方法。

在我的理解中，三角換元可以說是高中階段換元裡面最為巧妙和實用的了，這個不多說想必大家都有體會。

然後，三角函式裡面和差代換也是比較多的，就是把乙個整體用和或者差來代換。同樣，和差化積和積化和差的降冪公升冪都是比較巧妙的。

此外，增量代換和均值代換我也各舉個例子。

增量代換就是如果a＞b，那麼就可以設a＝b＋t（t＞0），則t為和式增量。如果a＞b＞1，則設a＝bt（t＞1），t稱為積式增量。可用於處理一些不等關係的證明和抽象函式問題，線性規劃和齊次多項式不等式也ok的。

對於齊次對稱不等式，可以設乙個齊次對稱式為常數，也就是用常數代換使問題得以簡化。

至於均值換元法，可以解決很多的最值問題。他能夠揭示量與量之間的相等和不等關係。

如果a＋b＝m，那麼可以設a＝m/2＋t，b=m/2－t。用這種方法換元還是比較妙的。

2樓：臨安寧

例，已知函式f（2x+1）＝4x+3，求f（x）

解：令t＝2x+1,則有x＝(t-1)/2，將x代回函式得到f(t)＝2(t-1)+3,得到關於t的函式，函式中的自變數可以用任何字母代替，故此時f(t)即為f(x)

復合函式可以看作內外層，如例題，2x+1即為函式內層，4x+3為外層，換元法就是用另乙個字母（例如t）去替換整個內層，得到t與x的關係，然後把代換外層，得到關於t的函式，此時的函式即為所求函式

3樓：黃亮anthony

雖然不知道為什麼被拉來答這個問題，不過還是可以答一下。

函式復合這種高階問題你不要想了，換元就把它當成換個字母吧。

第一步，理解f(x) = x^2 + x + 1和 g(t) = t ^ 2 + t + 1 表示了同乙個函式。函式是自變數x和應變數f(x)的對應關係，關係一致是同乙個函式。

第二步，理解f(x) = x^2 + x + 1和f(t) = t ^ 2 + t + 1 表示不同乙個函式。x和應變數f(x)的對應關係，不等於t和f(t)的對應關係，因為f(x)是x的應變數，中間還涉及乙個t為自變數， x為應變數對應關係。

第三步，令t = x則f(x) = x^2 + x + 1可以變換為f(t) = t ^ 2 + t + 1。把t = x改寫成函式 x = t，代入原解析式。這就補上了前面少的那一環。

第四步，令t = x - 1 則f(x) = x^2 - 2x + 1 （前面舉得例子不好，代入後不簡化）可以簡化為f(t) = t^2。這個就是比上面一步略複雜一點的代換。

最後一步，當f(x - 1) = x ^ 2時，求f(x)的解析式。經過上面想必能看明白了，f(x -1)和f(x)雖然字母一樣，但並不是同乙個函式，把它看成f(t)和 t = x - 1，求f(x)，則得到解析了。

4樓：斯雕

就是把一堆桌球裝進乙個透明的盒子裡，然後拿盒子去進行後面的運算。但其實盒子是不存在的，最後把桌球解放出來……

就是數學思想裡的轉化思想