1樓：Trueman
語言學上有一種造詞法叫做隱喻。
結構只是一種比喻。
法中國人裝神弄鬼的產物。
說白了是乙個學派的內部黑話，類似於江湖春典。
具體內容和建築結構兩碼事。
數學上的結構相同是指運算規律相同。
結構——運算律
同構——相同運算律。
舉個例子，找200個人分兩組。然後一一對應起來。這時候發現乙個奇怪的事情——a組裡兩個人如果有性關係，則b組裡對應的兩個人也有性關係，反之同時沒有，則稱兩組人同構（同性關係）
2樓：saturnman
先來說結構(structure)大概是什麼意思，一組物件如果沒有任何結構以為都他們是隨意擺放在一起的，完全隨機的系統很難挖掘出什麼有效的資訊。所以一般我們不會去研究完全隨機的系統，我們一般會為系統的物件約束一組運算規則，符合這些規則的系統自身就會滿足一定的結構特徵了，我們感興趣的就是這些結構上的特徵。滿足三個規則（單位元，封閉性和結合律）的代數系統就有了群的特徵我們可以去研究這上面的結構，包括結構本身和結構之間的運算衍生出來的復合結構巢狀結構高階結構之類的東西，總之很豐富。
做為模擬乙個例子，最好的就是拓撲結構。把一組物件定義鄰域規則，去研究這些物件在鄰域規則之下形成的代數結構就是拓撲結構。同樣一些物件之間定義態射規則之後可以去研究範疇。
這其實是數學研究的乙個基本思路，我們沒有精力去研究乙個或是一些具體物件，我們更應該致力於研究在一些非常基本的約束規則之下物件系統反饋出來的結構特徵，這樣我們搞定乙個問題就等於搞定了一大類問題，也能給研究帶來更高更遠的view。
3樓：Yuhang Liu
匡世珉 的答案已經很好了。我再囉嗦幾句。其實「結構」這種詞語對高中生來說還是有點不著邊際。更具體地說，群論其實就是研究「運算規則」。
比如我們考慮模6的算術。考慮0-5總共6個數字，加起來的結果如果超過6就取除以6的餘數，這就定義了乙個模6的加法運算，0-5在這個加法運算下就構成乙個群， . 然後為了解釋什麼叫同構，我們考慮模2和模3的算術，然後把這兩種算術「乘」起來，也就是模2算術裡取乙個數a, 模3算術裡取乙個數b，配個對，就是(a,b)。
然後(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，兩個分量分別做模2和模3的加法，這種分量相加實際上也就是向量的加法。這麼配對出來的算術，和模6算術，擁有相同的運算規則。用群論的術語來說，就是 .
你可以驗證一下，如果把模6裡的1，當成(1,1)，那麼這兩種加法，他們的操作方式，其實是一模一樣的。
不過我知道我這麼寫估計也少有高中生能看得懂。如果沒有接觸過競賽，很多高中生可能連完全剩餘系的概念都沒有，也不理解什麼叫模n算術；接觸過競賽或者初等數論的倒是容易學抽代，稍微想想，數論裡不少競賽題目都有有限域的背景。我倒不是說嘲諷這些高中生，我自己在高中的時候抽象思維能力也不咋地，我也看過群論的科普文章，也看過那個什麼「向左轉向右轉」來理解4階迴圈群的比喻，但是我高中時候死活就是理解不了，非得到我大二學了抽代才開始理解。
沒辦法，中學階段的數學教育，抽象的東西太少，觀點太低，重視運算技巧而不是概念體系的建立；我雖然現在數學博士都畢業了，但說到底也還是普通資質，非得要接觸足夠多的抽象知識（和輔助理解的例子）才能慢慢從下至上建立起抽象的數學思維方式。99%的數學系學生也是一樣，包括北大清華。
4樓：LiDH
我覺得@金岳霖講得對。我感到「結構」就是說，若一集合A上定義了一種對映，就稱這個集合和這個對映構成乙個的「結構」。
結構只是個概念性的提法，讓集合有了某種特殊的性質，而不僅僅是個盛放各個元素的「籃子」。比如，集合上定義了元素間的封閉的「加法」，就稱乙個加法結構；線性空間（本質是集合）定義了度規從而可測量元素「長度」和「夾角」，就稱乙個度規結構。群（本質是集合）上定義了群乘法，就說這個集合具有群結構。
5樓：零十一
我覺得作者想問的是如何把結構和數學結構統一起來，即當我們說「結構」一詞時，指的是什麼？我們總是引到數學上，但現實中我們也是經常使用「結構」一詞的，如何統一起來呢！？比如，當我們說手機的結構時，指的是什麼，是其外形構造嗎還是其他呢。
又如化學上，我們講乙個物質的結構時，結構又指的什麼呢？等等。 亟待統一啊！
我想了將近乙個星期了，沒有做到，望有人解答啊！Many Thx呀！
6樓：烏爾比諾
結構就是如何用最簡單的辦法表示出群中的所有元素，類似於線性空間的一組基。最簡單的迴圈群就可以用乙個元素所有的冪來表示，其結構自然也最簡單；4階群就有兩種，迴圈群和Klein群，且。6階群也有兩種，迴圈群和，是階最低的非交換群。
8階群就已經有五種了。
舉個簡單的模擬，晨光和真彩兩大廠商都生產原子筆和中性筆。晨光的中性筆和真彩的中性筆都由筆帽，筆帽裡面的小海綿套，筆管上面圓錐形的頭部，筆芯，塑料筆管，所以他們是同構的，而晨光的中性筆和原子筆則不同構，因為原子筆是按壓式的，筆芯的寬度，寫出來的字都不同，所以不同構。
確定有限群的結構是一件很困難的事情，目前好像已經確定了2000階之內的群的結構和所有的有限單群。
7樓：匡世珉
看到這個問題真是感慨萬千。我最初接觸群論是因為魔方，當時查了查群的定義，並不理解這個定義有什麼意義，更不知道什麼叫『代數結構』。
後來我選了一門近世代數課，也是從群的定義開始講起。一切都很順利，作業我也都會做，但我一直有種雲裡霧裡的感覺——就像在乙個黑屋子裡摸索，慢慢地摸清了整個房間的陳設，但是仍然一片漆黑。直到有一天，我摸到了房間的電燈開關，開啟了燈，整個房間都明亮了起來——那一天，我學到了『同構』。
啊我就是想借用一下懷爾斯的『黑屋子』比喻嘛……好了不說廢話了，開始回答問題。
而隨便翻開一頁自己的作業本，群論是這樣的：
這有什麼關係啊摔！！！！說好的『結構』呢？
那如果我告訴你群其實長這樣呢：
是不是有點感覺？
嗯…這叫Cayley圖…
好！我這就說『結構』到底是什麼。注意，這篇回答僅僅針對題主的問題，只是乙個小小的『科普』。
為了可讀性，我會犧牲一些嚴謹性。想學習群論的朋友們還是要認真看教材。
我們來回顧乙個小學的知識：
奇數 + 奇數 = 偶數
偶數 + 偶數 = 偶數
奇數 + 偶數 = 奇數
偶數 + 奇數 = 奇數
沒問題吧？
我們再來回顧乙個初中的知識：
沒問題吧？
重點來了：大家有發現這兩組等式有什麼相同之處嗎？
都有四行！
嗯，沒錯…！
不僅如此，而且每組等式所描繪的只有兩個元素：第一組是奇數和偶數，第二組是-1和1；此外，每組等式包含乙個運算：第一組是加法，第二組是乘法。
具體一點說，每一組都是在某乙個運算下兩個元素的關係：兩個相同的元素做運算，得到其中乙個元素；兩個不同的元素做運算，得到的是另乙個元素。
好，現在我們用數學語言來描述一下。我們把兩個元素記為和，運算用星號表示，於是有：
這就是結構。
在數學上，我們可以說，加法運算下的奇數和偶數，與乘法運算下的-1和1具有相同的結構，即『同構』。這個結構可以用{}與運算構成的群來描述。
畫成Cayley圖就是這樣子：
其中運算滿足：
啊，順便說一句，奇數和偶數的加法其實就是模2的加法。
那還有什麼東西也具有這個結構呢？好多好多！再舉個例子：是『向後轉』，是『立正』，而星號則表示口號的連線。
不妨驗證一下：
軍訓時，教官說：「向後轉！」同學們向右轉了180°。
教官接著說：「向後轉！」同學們又向右轉了180°。
「不就又轉回來了嘛…煩死了…」一同學小聲抱怨。
「誰在嘀咕？！給我站出來！！！」
「啊不，我是在說您群論學得好…『向後轉』『向後轉』『立正』…」
好了不開玩笑了…我們繼續…
『同構』又怎麼樣呢？在加法運算下的奇數和偶數，與在乘法運算下的-1和1具有相同的結構，so what？
這個問題問得好！我們來回顧一下剛剛說過的一句話：
具體一點說，每一組都是在某乙個運算下兩個元素的關係：兩個相同的元素做運算，得到其中乙個元素；兩個不同的元素做運算，得到的是另乙個元素。
這句話非常重要！這意味著，當我們說奇數偶數和正一負一的時候，其實我們是在說同乙個結構！只是在用不同的名字來描述而已！
換句話說，我們實際上都是在說{}與運算構成的群。第一次我們把稱為『偶數』、把稱為『奇數』、把稱為『加法』；第二次我們把稱為『1』、把稱為『-1』、把稱為『乘法』。這兩次其實說的內容本質是一樣的！！
那同構有什麼用？太有用了！！！一旦知道乙個物件的性質，那麼所有與它同構的物件的性質我們都知道了！
再舉個同構的例子：『加法運算下的實數』和『乘法運算下的正實數』是同乙個東西！
為什麼呢？我們隨便找個正實數乘法等式，比如。
這個式子裡有三個元素：『』、『』、『』，以及乙個運算『』。
我們現在把它們換個名字：把『』稱為『』、把『』稱為『』、把『』稱為『』、把『』稱為『』。
現在，式子變成了：！
對於每乙個正實數乘法等式，我們都可以用『』和『』來把等式重新『命名』，使之變成乙個實數加法等式！
注意，當我們說『同構』是『結構相同而名字不同』時，原本兩個元素的名字不同，那麼這兩個元素的新名字也不同。
如果原來有些元素的名字不同，但換名字之後它們具有了相同的名字，那就不是『同構』而是『同態』。
『同態』長這個樣子：
比如對於『加法運算下的整數』，我把所有被2整除的數重新起名，都叫『偶數』，其餘的數都叫『奇數』，加法還叫『加法』。那麼，『加法運算下的整數』與『加法運算下的奇數與偶數』是『同態』的。（注意，這個不嚴謹，其實應該說是模2加法下的0和1，因為兩次『加法』的意義已經不同了。
）再放一張很喜歡的圖，描繪的是群同構第一基本定理，具體我就不解釋了：
啊，我想我算是在某種程度上回答了題主的問題了吧。
想起M67曾經寫過的一句話：
親愛的，你與我同構。
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