1樓：liugeng
乙個 10*10 的正方形裡，最多可以放多少個直徑為 1 的圓？
在10*10*10的立方體內，最大能放進多少個直徑為1的球體？
看了這兩個問題下的回答，根據這些答案計算了下這個問題。
根據我算的結果應該能放下1211個(放3層第三種和10層第一種，計算結果在圖4中有，圖4)（如果沒計算錯），不知道是不是最多。適用於剛性小球和不變形的立方體（立方體沒有厚度，能和邊界相切。不抬槓）。
1、第一種放法
先放100個再放81個，放法如圖1。兩層的間距為2^0.5/2。
圖12、第二種放法（主要是紅圈位置能不能放下乙個球）
先放105個，再放95（紅圈處不放就只有85個）個。放法如圖2。兩層的間距為6^0.5/3。
圖中畫紅色圓圈的位置是可以放下乙個小球的，當像圖中那樣球體相切時（排列緊密相鄰的球體都相切）1球及其所在列和紅圈位置的球體的球心在同一平面，其餘9個位置同理。應該屬於六方最密堆積（沒學過）。
圖23、第三種放法
先放106個（根據前面10*10放圓的問題可以知道最多能放106個），再放94個。放法如圖3.兩層間距取第二種6^0.5/3。
圖34、兩種情況（2和3先算一種）都考慮。
4中情況結果如圖4所示。圖中序號不對（懶，不想改了），1球心正四面體為第二種放法，2球心正四面體和正四稜錐為第三種放法，3球心正四稜錐為第一種放法。後面是放的層數和高度。
粉紅色為高度不大於10的，紅色為極值。可以看到第二種和第三種方法在偶數層相同，奇數層時第三種多乙個。對於1186的放法，根據圖4可以將最上面的一層放到105或106就直接pass了（可以看看10*10放圓的。
還有空間可以利用）。
圖4中下面三組資料，第一組是高度計算，第二組和第三組是數量計算。圖中有五種放法。
圖4還有乙個沒有計算圖2紅圈位置小球的（可能會有錯誤），圖5圖5
2樓：Grinner
看到各位大神把我想說的都說了，那我就補充說明一下為什麼可以鋪13層。
首先，我們要求的是一排球減去兩排球相抵消的部分的高度：
因為我們是在10*10的上面鋪了一層9*9，所以我們可以取它的一部分，即2*2的球上面放了乙個球。
連線5個球心，得到乙個類似於金字塔的立體圖形。我們取這個金字塔的四分之一，然後補成長方體，其長、寬、高和對角線分別為a、b、c、d。如下圖：（畫功捉急，見諒）
我們要求的目標是c，而a、b、d是已知的（分別為1/2，1/2，1）。那麼根據三維勾股定理公式：a^2+b^2+c^2=d^2，即可得出c=√（1/2），約為0.707。
我們把（10-1）除以0.707，取整後+1，即可得出能放13排。
那麼可不可以把其中一排9*9換成10*10呢？答案是不行。
因為3*1+10*0.707=10.07，就大於10了。
所以最後答案就是1186個。
3樓：心魔
來鑽個空子，問題中沒提到怎麼把球裝進去，可以把球磨碎了裝啊，乙個球的體積是π/6，立方體規格是10×10×10，除法嘛
抖機靈，輕噴。
4樓：keghost
1，每層球心正三角形排列。
每列間距是√3/2，一層填充率極限是π/(2√3)，每層間距是√2/√3。
2，每層球心正方形排列。
每列間距是1，一層填充率極限是π/4，
每層間距是√2/2。
3，兩種方法的比較
每層極限填充比，π/(2√3):(π/4)=2:√3，層數比，1/(√2/√3):(1/(√2/2))=√3:2。
可以看到，當n無限大時，二者體積填充效率趨於一致的。
但對任何乙個正整數n，列和層都只能是整數，二者實際填充效率是很難一致的。
對於n=10。
正三角形排列如下
一層中，9/(√3/2)≈√108≈10.39，可排11列，10.6+9.5=105，
10√3/2+1.5＞10，故相鄰的另一層只能排10列。10.5+9.5=95；
9/(√2/√3)=√121.5≈11.022，可以排12層。
105.6+95.6=1200。
每層正方形排列如下
一層中，10列或9列
10.10=100，或9.9=81
9/(√2/2)=√162≈12.727，可以排13層。
100.7+81.6=1186。
二者結合，
10(√2/2)+1+1+√3/2＜10，100.6+81.5+105+95=1205。
8(√2/2)+1+1+3(√3/2)＞10。
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