1樓：
我覺得這個方法還是比較常用的了。通過設k來將其簡化(這種方法也類似於小學，初中學過的設比值法)
如果要優化的話，最後的幾個解可以不用乙個個算由於ab=(a+b)-(a+ab+b）=16k-49＞0解得k＞49/16，那麼k=4
2樓：iNx
一類涉及二次的不定方程問題與判別式有關，因為判別式為完全平方數是解為有理解的充要條件，也是整數解的必要條件。
利用建構函式的另一解答如下：
3樓：
第一步的設法是非常常見的，而且我認為這種設法是非常自然的：既然a,b都是正整數，那麼我首先算出了 和 的值然後進行約分才得到了 。那麼分子和分母到底是多少呢？
就不難作出 的假設了。那麼這種設法的好處是什麼呢？好處就是我們知道和 的值具體是多少了，雖然多了乙個未知數k。
但與此同時我們可以用k表示出a和b，再利用a,b,k為正整數的條件也許就能有所發現。
那麼，是不是必須要設出k呢？當然不是。暴力做也是可行的：
已知，整理得 ,
因此a是方程的根，從而有 = 0 \end" eeimg="1"/>
由此可知 ，逐一檢驗就知道a和b的值了。（由於a是正整數，判別式一定是個完全平方數，檢驗起來其實野蠻快的）但是這個做法肉眼可知地沒有設出k的方法簡便。
根據上面這個回答，你也可以感受到在這類問題中，將根據a,b的關係式將它們看成是乙個一元二次方程的解，然後利用判別式的範圍進行限定是一種通用的做法。換句話說，這是乙個套路。更進一步的套路則是利用韋達定理：
我知道a+b的值，我也知道ab的值，它們都可以利用某個未知數單獨地表達出來，那麼a和b就是某個一元二次方程的兩個根。既然方程有解，那麼就可以根據判別式不小於0得到這個未知數的乙個取值要求。
如果你覺得最後檢驗是個很不OK的做法，我也可以給出乙個不需要檢驗的做法。但是我真的覺得它不是很簡潔。。。。。就權當拋磚引玉了吧。
注意到由於 和 均為正整數，則可知 ，其中 ，因而有：
由於 是乙個正整數，且 一定是個奇數，從而可知
故設 ，其中 ，從而有：
0" eeimg="1"/>
故 \frac" eeimg="1"/>
同時，根據韋達定理， 和 是方程 的兩根，因而知
= 0 " eeimg="1"/>
即= 0 " eeimg="1"/>，
由於 是個正整數，就有 ，
4樓：cshiki
瀉藥如果個人沒猜錯樓主應該是剛剛入坑數論不久不然應該會見怪不怪（狗頭）因為我自己一開始想到就是這個方法所以按順序回答一下你的問題1.是屬於常見設法。在數論中間，這類問題我認為姑且可以算在不定方程中。
常見需要設的有：既約分數式，帶餘除法的式子（c＝ax＋b ），同余式子，還有算數基本定理的分解式。因為通過這些設法能更好地體現出初等數論對整數性質的刻畫。
以本題為例，利用49k，4k的設法，更清晰地將這兩個式子綁了起來，同時也刻畫了49|分子，4丨分母的性質，並且這類設法也容易表示出ab。
2.算到Δ也是正常的。因為利用這種方程是否有解的性質確定上下界無論在代數還是數論中都有所表現。
我自己印象中這樣相似的題目在馮志剛老師的初等數論中應該有（不確定退役太久了）。數論中框範圍的方法，我認為首先是利用數論知識對整數集合作出一定劃分（有一些題甚至利用費馬小乾這事），緊接著往往就是不等式或者方程性質確定。（數論中複雜不等式還很少，組合極值中算兩次數cauchy和am—gm的運用更為廣泛）。
湊數只要範圍不夠大對於數論來說絕對是可行之法，因為90%的聯賽範圍內的數論題都是正整數。關於猜數的題，安利一下2019北方之星T1，是乙個不錯的湊數好題(狗頭)。
最後想多句嘴，MO中數論的小方法有不少都不少都不是憑空想而是靠多做題積累的。
備戰2020公考，知乎查了一些，求問申論要做什麼準備？
備考資料 湯可特訓七套卷 申論的規矩 歷年真題卷 申論不是指著背模板材料，小題抄抄材料就能夠讓申論有個很高的分數。這樣做非但不會得到高分，遇到反套路的老師，連及格分數都很難，所以，在備考期間，不光要給行測留時間，也要留一定的時間給申論進行系統的複習訓練，粉筆的 申論的規矩 看完之後會對申論有乙個基礎...
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無關磅礴 其實我覺得網課和面授課可以結合起來，通過網課先入門，夯實基礎，並對四科的學習掌握正確有效的學習方法和方案，後期弱項提公升再報線下的面授班，這樣效果更好。 考前閱讀一些雅思閱讀臨場經驗能夠讓大家在考試中抓住重點，避免因為一些粗心或者平時一些做題習慣丟分。雅思閱讀考試中題型有很多類，如果審題不...
知乎上，知識淵博的人有權 侮辱 來知乎提問的求上進的人嗎？
雖然看得不怎麼懂，但是我覺得有時候也許不用去爭執，每個人都有不痛快的時候，提問之前就要做被罵的準備，因為想獲取必定要付出呀。中學時每天都跟著老師問個不停，他們還很認真。但是到了大學，剛要問教授們就跑光了，沒有人理比被罵一頓更憂傷。總之臉皮要厚，要微笑，沒準那個罵自己的人現實中其實是個又厲害又帥的人呢...