1樓：[已重置]
其實這是數學分析中經典的反例，它具體地粉碎了那種「連續性和單調性之間只差個逐段」的錯覺。
不知道你這是哪本書的「標答」，但這個函式的構造完全可以更加具體一些，從而靠硬計算和硬估計直接剛（強）正（行）面（上）。
陶哲軒《分析》一書中§9.8「單調函式」一節的習題裡就給出了這樣的構造，循循善誘，比你這書裡要親和得多。【寫到這兒我差點兒就忍不住要開噴了，可還是強行忍住噴的衝動，把它放到最後，哎其實沒耐心看以下繁瑣論證的都可以直接忽略掉，這些細節都不重要，直接拉到最下方吐槽部分過癮爽一發舒暢心情才是最要緊的～】
由於有理數集 是可數的，故可為之編號，將其寫為序列 ，其中 是從自然數集到有理數集的雙射（這個雙射構造起來並不容易，但所幸我們並不需要其具體形式，知其存在性毋庸置疑就足夠了）。現定義函式 ，令 （則 ）。由於級數 是絕對收斂的，故 也是絕對收斂的。
現在定義函式 為 ，仍由是絕對收斂的得出 對任意 均有定義。
按照以上定義的函式 滿足以下性質：
一.是嚴格單調遞增的。
這幾乎是顯然的。令 都是實數，則 使得 ；若 ，則 不在 的求和範圍內，卻在 的求和範圍裡。這意味著 一項會加入 ，卻不會加入 。
因此 至少比 大 ，實際上還要更大（ 與 之間的有理數不止這乙個）。
二.在有理數間斷。
設 ，依構造有 使得 。考慮，顯然求和範圍內不含 ，因此無 一項。再考慮任意的 r" eeimg="1"/>，的求和範圍內顯然含有 ，因此含有 一項。
故 r,f\left( x \right) \geq f\left( r \right)+2^ \Rightarrow \exists \varepsilon < 2^: \forall \delta>0 \left( \left|x-r\right|<\delta \wedge \left|f\left( x \right)-f\left( r \right) > \varepsilon \right| \right)" eeimg="1"/>，從而 在任意的有理數 處均間斷。
三.在無理數連續。
定義函式 。顯然，其中 這一條件僅當 時能被滿足；換言之，僅存在有限多個有理數 能夠滿足這一條件。定義 ，則 作為全序集 的有限子集必有最大元 。
那麼，當 \max\left( E \right)" eeimg="1"/>的時候，集合 。現考慮當 時，由一. 知 。
0" eeimg="1"/>，令 ，則當 時， ，即 在 處連續。然後，考慮——
最後，考慮到 ，由前述論證可知：i） 0" eeimg="1"/>使得 ;
ii）另一方面——
N_1,\left|f_\left( x \right)-f\left( x \right)\right|=\left|f\left( x \right)-f_\left( x \right)\right|\leq2^\\ &\forall n_2>N_2,\left|f_\left( x^\prime \right)-f\left( x^\prime \right)\right|=\left|f\left( x^\prime \right)-f_\left( x^\prime \right)\right|\leq2^ \end \right.\\ \Rightarrow \exists N:=\max\left(N_1,N_2\right) :
\forall n>N,\left|f\left( x \right)-f_n\left( x \right)\right|\leq2^\wedge\left|f_n\left( x^\prime \right)-f\left( x^\prime \right)\right|\leq2^" eeimg="1"/>
給定 0,\exists n\in\mathbb:0<2^<2^<\varepsilon" eeimg="1"/>，而對於此 ， 。那麼， 0,\exists 0<\delta使得：
，這正是 在（無理數）處連續的定義。
吐槽：讀得數學教科書越多，越發現會做數學的人很多——但會教數學、會寫書的先生們真是鳳毛麟角。就比如問題描述裡面標答出自的那本書，讓人真心覺得——作者平時講起數學，若不「臨深為高，故作搖曳」起來，是不是就不過癮噻？
把那個抽象的絕對收斂級數 給成具體到大一新生人人都能上手的 會死啊？！真不是我說——看看人家特崙蘇多大學問，不往多里說——爆你十來萬條街沒啥問題吧？可瞧瞧人家是怎麼給萌新們寫書的——
。哎～我去不好這是一言難盡的節奏，先吃飯去了～
2樓：Bingyan Liu
我說三點
首先，在無理數集上考慮，它是連續的，這沒錯（1）然後加入任意乙個去掉的有理點，左右極限是不等的（2）況且你想問的是原函式的左右極限，你研究加上有限個有理點後的函式的左右極限沒用.
不過這個函式在有理點的左右極限確實和原來的函式的左右極限是一樣的.
（3）此外有理點是間斷點，左右極限是不能等，但就算相等了，也和單調性不衝突.
3樓：
如果去掉所有有理點，函式也不是連續的，是跳躍的。
簡單點理解，
首先：把有界要求忽略；你可以對照階梯函式floor(x)理解這一函式。在（2.5,3.5）的區間，函式扣掉整數3的位置，也不是連續的。
其次，加上有界要求，階梯函式每過乙個整數點，增加1；我們現在只增加2^-|n|;就變成有界的了。函式下界是0，上界2.
最後，將整數對映到有理數，就理解明白了。
兩個要點：級數求和絕對收斂，這種級數多的不得了；有理數和整數可以一一對應。
4樓：朝聞道
我拓展來乙個相對嚴格的證明。
微積分裡關於乙個函式在連續的定義左連續且右連續，即：
在間斷則是指上述兩個式子至少有乙個不成立。
我們考察給定的函式.首先證明對於任意實數函式左連續，即我們將間的有理數排列成，他們對應的級數項為，原級數收斂，必然有重排之後有
顯然對於單調遞減且有0作為下界，因此收斂。
令,顯然數列單調遞增且收斂於.於是我們有
n}C_m'=0," eeimg="1"/>上面的等號由(1)式保證。因此0也是的上界，我們即得到了左連續性。
對於x_0" eeimg="1"/>,有，其中是對應的級數項，如果是無理數即為0. 用證明左連續同樣的思路可以證明無理數右連續，且有理數不滿足右連續。
因此嚴格意義上，構造的函式確實在所有有理點間斷，所有無理點連續。
這種構造的可能性本質上來自於有理點的可數無窮性。我很難想象在實數軸上一次跳過乙個點，我對這函式的理解就像魏爾施特拉斯函式，超越直觀想象的東西。
這函式似乎是Lebesgue可積的，他的積分應該是水平有限，如有錯誤敬請指正。
5樓：靈劍
每個有理數點都往上跳了一點，每個跳躍都是個有限的非零值，加在一起仍然可以是乙個有限值。而且這個函式在幾乎所有的地方都是平的……
6樓：
我覺得問題在於你覺得「跳過」可以只增加或減少乙個點，但實際上不行，它「極限地增加或減少乙個點」，但是 epsilon>0 時它總是增加或減少無數個有理點。
顯然給出的函式的變化是增加或減少的有理數的「權」的和。
這裡跳過乙個有理數和無理數不同之處在於，當你跳過乙個無理數的時候，極限過程中你跳過的有理數權和可以趨於 0；當跳過有理數的時候，極限下被跳過的有理數本身的權一直會出現在變化中，因此權和不能趨於 0。
下面說說這個構造本身。這個構造是自然的，假設 Cn 之和等於 1，這樣的話這個構造實際上相當於在不可數集上定義乙個離散概率，而這個單調函式實際上是累積分布函式（取 < 版本）。
現在考慮離散概率的累積分布函式，左極限相當於 Pr[X 既然我們希望有理點間斷，無理點連續，那麼只要讓有理點恰好是所有具有正測度的點即可。 7樓：墨羽逸 我覺得大概是你把間斷點都想成了可去間斷點，即左右極限存在且相等但不等於該點的函式值。 而實際上這裡的有理點都是跳躍間斷點。 木夏 長夜漫漫，又是乙個明早要上課卻無法入睡的夜晚.和劍靈答的相反，我覺得最後應該是趨於所有人都感染才對，A為受感染男性比例，B為受感染女性比例，A B 1 但人數又無窮，根本感染不完呀，這題好像沒法穩定。其實我強行算了乙個解，穩定條件是感染人數的增加比率相同，而不是比率等於期望。結果和初始條件感染... 熊起 給初學程式設計的人講物件導向，非常容易出現這種誤解，這不怪學生怪老師。軟體工程的隱藏公開是對開發者講，具體說就是某個模組某個類的維護者 但以自然思維配合物件導向ABC很容易把隱藏公開理解成某個object的許可權。 賀可夫 string getinfo 其實完整的解釋是string getin... 明明知道出題人想問什麼偏不這樣答系列 float double精度不夠的時候使用 float128就行。inline float128 Sqrt float128x void print float128x,intK 50 inty 0,t while x 1 x 0.1Q,y if y print...一道關於概率的面試題？
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