1樓：法國球
顯然不垂直。
正方體有8個頂點，4條體對角線，假如其中任意一對兒體對角線互相垂直，根據對稱性，這4條體對角線兩兩垂直，這就與空間對維數是3矛盾。
2樓：hawk
簡單來說，因為四邊形ACGE是長方形。
在任意兩條體對角線的所在平面中，比如如圖平面ACGE中，兩條體對角線的四個頂點組成的四邊形是非正方形的長方形，比如四邊形ACGE，所以正方體的體對角線不相互垂直。
還可以說，因為正方體的體對角線是四條。
三條體對角線才有可能兩兩相互垂直。
體對角線數大於3的多面體的體對角線不能全部垂直。
正八面體的三條體對角線相互垂直。
3樓：鷺鷺
這麼簡單的問題需要說這麼多嗎？
正方體的體對角線,相當於乙個邊長為一和根號二的長方形的兩條對角線,這兩條對角線顯然不垂直,所以這玩意兒就不可能垂直。
4樓：靈劍
呃，正方體有八個頂點，四條體對角線，全部都是對稱的，要垂直就得兩兩垂直，三維空間怎麼會有四條線兩兩垂直呢……
實際上任意兩條體對角線都正好是一對平行的面對角線和一對平行的側稜組成的矩形的對角線，這個矩形並不是正方形，對角線顯然也就不垂直了。
5樓：
沒算過，但應該不垂直，你把正方體沿著乙個體對角線立起來，如果垂直的話另外四個頂點應該在同一水平線上，但我的記憶中好像是錯落有致。
唔，去補了一下，比較明顯了
補充一下，如果要三條體對角線兩兩垂直而且還是相互等分（正方體是相互等分），這個形狀應該是個八面體，每個面都是乙個正三角形。
6樓：
比較容易想的是反證法：第
一、二條體對角線如果都與第
三、四條體對角線垂直，那麼，前兩個體對角線的面與後二者垂直，相交的後二者只好重合了。
7樓：Richard Xu
把兩個完全相同的正方體併排放置，分處兩正方體中的兩條體對角線和兩倍邊長構成等腰三角形；
如果體對角線垂直，則這是個等腰直角三角形，意味著三邊長比例為 ；
但是體對角線的長度為 ，於是這個等腰三角形的三邊長比例應該是 ，矛盾。
進一步地，兩者的夾角滿足 。
8樓：楚若兒
顯然不垂直，用反證法
不怎麼會用畫圖工具，湊合看，求輕噴。
那如果是對角線A1C和AC1，就更好搞了。
這兩條線是長方形ACC1A1的對角線。
長方形只要不是正方形，對角線不垂直。
是很顯然的。
9樓：琦兵11
居然沒有人是建系的嗎？（看來這個方法太低端了不值得大佬們述說）
那就讓我來說說吧。
設正方體邊長為1，建系，易得一條體對角線的向量是（1,1,1）另一條是（-1，1，-1）,兩向量數量積為-1≠0，故不垂直。
10樓：葉小胖
不垂直。正方體的體對角線如果垂直，則會出現四條相交直線彼此垂直的情況，這在三維歐氏空間裡是不可能的，必須在四維及以上空間才可。因此不用計算即可反證。
11樓：demo256
有幾種顯而易見的思路
正經點：在兩根體對角線所在的平面進行證明，顯然不垂直
不正經的：體對角線有4根互異，三維空間最多同時存在三根兩兩互相垂直的線
12樓：TheBadZhang
顯然不垂直
你可以很清楚地知道，正方體兩組相對的稜可以構成矩形，而體對角線可以剛好在這個面上
計算一下矩形的邊長，會發現不是正方形，所以不垂直
13樓：ViN
是不垂直的。
呃，乙個沒啥技術含量的證法
看圖即可說明問題。
畫得不好看。
既然是兩條線，那麼找到其所在平面，是個長方形。
我們知道，四邊相等的四邊形（菱形），它們的對角線是相互垂直的，那麼只要證下它鄰邊不等就好了。
圖和寫法不夠嚴謹，不過是那麼回事兒。
14樓：AI001
體對角線是否垂直，需要在兩條體對角線所處的平面進行分析。
可以得倒體對角線所處的平面存在乙個邊長為（a^2+a^2）^0.5和a的長方形（假定正方體的邊長為a），而正方體的兩條體對角線為該長方形的對角線，這樣很容易計算出正方體的體對角線並不垂直。
15樓：玻波瓜
並不，很簡單，你想象乙個，或者找乙個，畫乙個正方體，然後捏住兩個相對的頂點，讓它變成乙個陀螺在手裡轉起來，看到了吧，另外的四個頂點壓根不在乙個平面上，意味著什麼呢？意味著它們之間的一根對角線必然和轉軸有夾角，這當然就意味著它們仨並不垂直咯。
16樓：零度君
右手直角座標系，邊長為1的正方體。由於對稱性，我們取其中的任意一對即可：
擴充套件一下，對於更高維度，比如四維空間下下的正方體，則是有可能存在垂直的對角線的
比如(1,1,1,1)和(1,1,-1,-1)，類似的2N維的正方體都是可能存在垂直的對角線的。
17樓：
非數學專業萌新強答，大佬輕噴：
而體對角線應當形如
點乘兩條體對角線對應的向量：
在更一般的情況下，觀察到我們總是在對3個1或-1求和，而這樣的求和永遠不會給出0 。
（開始胡說）考慮擴張到其他整數維度的情況下，我們的體對角線向量依然是沒有0的：如果 ，可知這條對角線落在 這個平面上，因此我們沒有得到體對角線。如果對一組求和（點乘），在奇數維得不到0，因此如果我們的定義可以擴充套件的話，在奇數維上是得不到垂直的體對角線的。
18樓：好大水
正方體有四條體對角線，而且他們是對稱的，所以他們不可能相互垂直。因為三維空間最多有三條相互垂直的直線。
」相互垂直「只關乎方向，與位置無關。
正方體的四條對角線的方向向量分別是 a,b,c,和d，假設它們相互垂直
那麼：a,b,c,d線性無關，這不可能，因為三維線性空間中不存在秩為4的線性無關組。
19樓：MML
不垂直，證明如下
1）首先正方形的所有體對角線都是等長的
（顯然）
2）任意兩條體對角線都相交
（易知）
3）兩相交對角線的端點連線為矩形
（易證）
4）非等邊矩形的對角線不互相垂直
（過程略）
20樓：司洪亮
乙個平面內對角線垂直，其中一條對角線分成的兩個三角形必須是等腰三解形且重合或相等。立方體六個表面線段兩兩相等，對角線相互垂直。正方體經內部的四邊形邊相對的兩對邊其中的一對為另一對邊的平萬根，因而由這樣的四條邊構成的四邊形對角線不垂直。
21樓：自我西來
建個座標系，對角線向量都是三個一，然後一前面的正負號不同。那麼兩個對角線向量相乘後還是三個正負號不同的一相加，三個一前面怎麼安排正負號相加之後也不可能為零，所以不垂直。
22樓：魏老師
對於這類題，一種方法是看這個角在哪個平面內。
由下圖度，容易看出這個角所在的平面是矩形ABGH，AB：BG=1：√2，其對角線構成的角顯然不垂直。
作為模擬，不妨再知看一道馬丁
加德納曾經講過的題：
在這樣乙個正方體中，兩條對角線構成了乙個角道，它的度數是多少呢？
方法依舊是：版把這個角放在乙個平面中。因此，很容易權想到，把剩下的一條對角線補上，於是乙個等邊三角形就很明顯了。答案就是：60°
23樓：xxx
給題主乙個不用計算的，最直觀的辦法。
沿著正方體兩根對角線給他來一刀，你就能看到長方形的剖面。
請問一下，長方形的對角線會垂直嗎？
24樓：sixue
任意兩個體對角線的四個頂點連在一起，構成乙個切面
切面是長方形，必然不是正方形（邊長是1和根號2）
長方形的對角線必然不垂直
25樓：老王
不垂直設乙個正方形，邊長為1，則如圖
平面AD平行HF，則AB平行EF，截掉乙個稜錐如圖咱們把這個稜錐畫出來（就不畫直觀圖了，太麻煩，就畫個簡單示意圖）底面投影下來
是個矩形（圖為示意版的斜二測）
那麼容易知道，矩形對角線不垂直，所以立方體對角線不垂直
26樓：瓢城老炮兒
正方體的兩條對角線是共面的，這個面是正方體的對角面，這兩條對角線其實就是這個對角面的兩條對角線，這個面是個矩形而非正方形，所以它的兩條對角線並不垂直
27樓：克魯格
乙個正方體有8個頂點。
每兩個頂點構成一條體對角線。
所以乙個正方體具有四條體對角線。
四條體對角線相交於一點，體心。而且四條體對角線具有相同的特徵。
所以如果存在兩條體對角線相互垂直，則任意兩條體對角線相互垂直，則過一點有四條相互垂直的直線，維度為4，與正方體維度為3矛盾。
故不存在。
28樓：
顯然不垂直，證明這個問題太簡單了，題主可以自己試試。
提供乙個方法，建立乙個空間直角座標系，單位長度取成正方體稜長，則可以選取座標系讓正方體頂點座標全為不是0就是1的整數。之後可以輕鬆寫出和對角線共線的向量，兩個向量做內積（對應座標相乘再把三個乘積加在一起）發現不是0，就不垂直了。
這個問題向量法是最方便的，你甚至很容易求出兩條對角線的夾角。
29樓：踏雪尋梅
先說答案：不垂直。
這個問題可以從立體幾何的角度轉換到平面幾何，轉換後就變得非常簡單。
以正方體相互平行但不相鄰的兩條邊所在的平面對正方體進行切割。
我們會獲得乙個邊長比是1：1.414的矩形。
矩形的兩條對角線就是正方體的體對角線。
顯然他們是不垂直的。
畫透視正方體的時候怎麼確定好側面的大小？
貧道也瘋狂 最好的辦法就是，你自己用眼睛看出來，然後修改不就好了嗎？因為是常見到的東西，一眼看出來，改就是了啊。這不是基操嗎？型準啊！ 滄浪之水 常用的一 二 三點透視都屬於幾何學中的中心投影。略去證明，總之空間中的大部分直線 變線 都會被投影為一條射線 其端點為無窮遠點 消失點 並且互相平行的直線...
邊長為10的正方體中最多可以放入多少個直徑為1的球體？
王江 糾正下，每一層最多放106個，測試這個還是很容易的，可以看作把球橫向切開，至於上面怎麼擺，我是算不出來了，買1300個鋼珠試試吧 天下無難課 不知道是不是有啥一般性演算法，從簡單的計算看，按每層都放10x10個算，應該可以放10層，那就是1000個了。但如果按照 錯開 位置的排法，小球總數會增...
當四維的球體，正方體，長方體，正四面體在我們所在的三維空間中穿越的時候我們看到的會是什麼？
墨淺 首先，乙個完美的四維超球在三維空間正投影為乙個完美的球體，不論任意角度旋轉，投影都為球體，大小不變。其次，正四維方超體，各邊長均為1且互相垂直 各面正投影都是1x1的正方形，各體正投影都是1x1x1的正立方體。在三維空間內正投影始終是乙個正立方體，旋轉情況非常複雜。1.以垂直於三維空間的過質心...