常係數非齊次線性微分方程求特解時候為啥蘭姆達是單根就乘個x 蘭姆達是重根就乘個x平方？

1樓：

既然題主提出這個問題，我猜題主是大一上，我就先給乙個我原來大一上證的、大一上能看懂、但是枯燥而沒卵用的代數證明：

間宮羽咲sama：一種繞開e^x求導得到n階線性齊次常係數微分方程的特解的方法

如果想要知道更本質的原因，這裡提示一下：

因為我們知道e^λx的拉普拉斯變換是1/(s-λ)。而微分方程的特徵方程出現k個λ的重根的話，左面就會有乙個(s-λ)^k，除過去就是1/(s-λ)^(k+1)。而我們又知道1/(s-λ)^(k+1)的拉普拉斯逆變換是x^k e^(λx)，故得證。

（傅利葉變換可以看作虛軸上的拉普拉斯變換）

2樓：南中國海的一條魚

我們知道，自然指數函式對求導就是其自身，根據乘法求導法則，我們有在進行乘法求導的時候，最容易出問題的，就是我們一旦慌張，很有可能把前面求了導的自然指數函式當作沒求導的自然指數函式，結果後面另乙個函式也就沒再求導，然後就搞錯了。所以，當見到自然指數函式作為乘數（因數）出現時，我們可以套用下面的公式：

（其實就是利用分配律提取公因式）

若是整式函式，可設，則

記，則

記，則有

將二階常係數非齊次線性方程設為

開始解這個方程

（等式左邊是乘法求導形式）

（令）

結果這裡設，則

所以該微分方程組的特解是

其中就是關於的一元次多項式，記作，於是就有了將二階常係數非齊次線性方程設為

開始解這個方程

根據指數函式與整式函式相乘的導數的相關原理可知，記，則

記，則

代入回去，有

繼續（乘法求導形式再現）

其中，記，則

最終結果

將二階常係數非齊次線性方程設為

開始解這個方程

設，則

依據自然指數函式與整式函式的乘積的導數原理，記，則

繼續其中，

令（既然不是根，且總能寫成任意兩個實數的乘積，那這樣就沒有問題嘍），則

依據自然指數函式與整式函式的乘積的導數原理，記，則

最終結果

常係數非齊次線性微分方程求特解時候 為啥 蘭姆達 是單根就乘個x 蘭姆達是重根就乘個x平方？